Question

8．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，雙曲線C上一點(diǎn)P滿足PF₁⊥PF₂，且|PF₁||PF₂|=2a²，則雙曲線C的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\sqrt{3}$
• C． 2
• D． $\sqrt{5}$

Answer 1

分析 設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，運(yùn)用直角三角形的勾股定理和雙曲線的定義，結(jié)合已知條件，由離心率公式即可得到所求值．

解答 解：設(shè)P為雙曲線右支上一點(diǎn)，|PF₁|=m，|PF₂|=n，|F₁F₂|=2c，
由雙曲線的定義可得m-n=2a，
點(diǎn)P滿足PF₁⊥PF₂，可得m²+n²=4c²，
即有（m-n）²+2mn=4c²，
又mn=2a²，
可得4a²+4a²=4c²，
即有c=$\sqrt{2}$a，
則離心率e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{2}$．
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的定義，以及直角三角形的勾股定理，考查離心率的求法，以及運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．