Question

在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程為x-y+4=0，曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)）．
（Ⅰ）已知在極坐標(biāo)（與直角坐標(biāo)系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，點P的極坐標(biāo)為（4，

π

2

），判斷點P與直線l的位置關(guān)系；
（Ⅱ）設(shè)點Q是曲線C上的一個動點，求它到直線l的距離的最值．
（Ⅲ）請問是否存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足S_△ABC=

3

4

；若存在請求出滿足題意的所有直線方程，若不存在請說明理由．

Answer 1

考點：簡單曲線的極坐標(biāo)方程,橢圓的參數(shù)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（I）利用極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式即可得出；
（II）設(shè)Q(

3

cos，sinα)，利用點到直線的距離公式可得點Q到直線l的距離d，再利用余弦函數(shù)的單調(diào)性即可得出；
（III）假設(shè)存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足S△AOB=

3

4

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設(shè)直線l：x-y+t=0．由曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)），化為

x2

3

+y2=1．聯(lián)立方程得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系，利用弦長公式可得|AB|，利用點到直線的距離公式可得原點O到直線m的距離，再利用三角形的面積計算公式即可得出．

解答： 解：（I）由P(4，

π

2

)可得xP=4cos

π

2

=0，y_P=4sin

π

2

=4．∴P（0，4）．
把P（0，4）代入直線l的方程：0-4+4=0，滿足直線l的方程，因此點P在直線l上．
（II）設(shè)Q(

3

cos，sinα)，∴點Q到直線l的距離d=

| 3 cosα-sinα+4|

2

=

|2cos(α+ π 6 )+4|

2

．
∵-1≤cos(α+

π

6

)≤1，∴2≤2cos(α+

π

6

)+4≤6．
∴

2

2

≤d≤

6

2

，即

2

≤d≤3

2

．
點Q到直線l的距離的最大值是3

2

，最小值是

2

．
（III）假設(shè)存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足S△AOB=

3

4

．
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設(shè)直線l：x-y+t=0．由曲線C的參數(shù)方程為

x= 3 cosα y=sinα

（α為參數(shù)），化為

x2

3

+y2=1．
聯(lián)立

x-y+t=0 x2+3y2=3

，化為4x²+6tx+3t²-3=0．
∵直線l與橢圓有兩個交點，∴△=36t²-16（3t²-3）＞0，化為t²＜4（*）．
∴x1+x2=-

3t

2

，x1x2=

3t2-3

4

．
∴|AB|=

(1+1)[( 9t2 4 -4× 3t2-3 4 )]

=

12-3t2 2

，
原點O到直線l的距離d=

|t|

2

，
∴

1

2

|AB|d=

3

4

，
∴

1

2

12-3t2 2

×

|t|

2

=

3

4

，化為t⁴-4t²+3=0，解得t²=1或t²=3．滿足（*）．
∴存在直線m，m∥l且m與曲線C的交點A、B滿足S△AOB=

3

4

，
直線l為x-y±1=0，或x-y±

3

=0．

點評：本題綜合考查了極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式、點到直線的距離公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性、相互平行的直線的斜率之間的關(guān)系、橢圓的參數(shù)方程、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到△＞0及根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計算公式等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于難題．