Question

設(shè)函數(shù)f(x)=ax-

b

x

，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）把x=2代入7x-4y-12=0，解得y=

1

2

，即f（2）=

1

2

．由于曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，可得

f′(2)=a+ b 4 = 7 4 f(2)=2a- b 2 = 1 2

．解得即可；
（2）由（1）可得：f′(x)=1+

3

x2

＞0，即可得出單調(diào)性．

解答：解：（1）把x=2代入7x-4y-12=0，得7×2-4y-12=0，解得y=

1

2

，∴f（2）=

1

2

．
f′(x)=a+

b

x2

，∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0，
∴

f′(2)=a+ b 4 = 7 4 f(2)=2a- b 2 = 1 2

．解得

a=1 b=3

．
∴f（x）=x-

3

x

．
（2）由（1）可得：f′(x)=1+

3

x2

＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-∞，0），（0，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程等基礎(chǔ)知識(shí)與基本方法，屬于基礎(chǔ)題．