Question

討論函數(shù)f（x）=

1

2

ax²+x-（a+1）lnx在a∈R時的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由題意確定函數(shù)的定義域，再求導(dǎo)f′（x）=ax+1-（a+1）

1

x

=

(ax+a+1)(x-1)

x

，分5種情況討論導(dǎo)數(shù)的正負，以確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：f（x）=

1

2

ax²+x-（a+1）lnx的定義域為（0，+∞），
f′（x）=ax+1-（a+1）

1

x

=

(ax+a+1)(x-1)

x

，
①當a≥0時，ax+a+1＞0，
故當x∈（0，1）時，f′（x）＜0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)；
f′（x）=

a(x+ a+1 a )(x-1)

x

，
②當-

1

2

＜a＜0時，

a+1

a

＜-1；
故當x∈（0，1）∪（-

a+1

a

，+∞）時，f′（x）＜0，當x∈（1，-

a+1

a

）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，1），（-

a+1

a

，+∞）上是減函數(shù)，在（1，-

a+1

a

）上是增函數(shù)；
③當-1＜a＜-

1

2

時，-1＜

a+1

a

＜0；
故當x∈（0，-

a+1

a

）∪（1，+∞）時，f′（x）＜0，當x∈（-

a+1

a

，1）時，f′（x）＞0；
故f（x）在（0，-

a+1

a

），（1，+∞）上是減函數(shù)，在（-

a+1

a

，1）上是增函數(shù)；
④當a=-

1

2

時，f′（x）≤0；
故f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)，
⑤當a≤-1時，ax+a+1＜0，
故故當x∈（0，1）時，f′（x）＞0，當x∈（1，+∞）時，f′（x）＜0；
故f（x）在（0，1）上是增函數(shù)，在（1，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及分類討論的思想，分類標準比較難，屬于難題．