Question

如圖，已知PA⊥平面ABC，等腰直角三角形ABC中，AB=BC=2，AB⊥BC，AD⊥PB于D，AE⊥PC于E．
（Ⅰ）求證：PC⊥DE；
（Ⅱ）若直線AB與平面ADE所成角的正弦值為

2

3

，求PA的值．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）先證明BC⊥平面PAB，可得BC⊥AD，證明AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，再證明PC⊥平面ADE，即可證明PC⊥DE；
（Ⅱ）過點B作BE∥AP，則BZ⊥平面ABC，分別以BA，BC，BZ所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)PC⊥平面ADE，可得

PC

=(-1，1，-a)是平面ADE的一個法向量，從而向量

PC

與

AB

所成的角的余弦值的絕對值為

2

3

，即可求PA的值．

解答： （Ⅰ）證明：因為PA⊥平面ABC，
所以PA⊥BC，
又AB⊥BC，PA∩AB=A，
所以BC⊥平面PAB，
因為AD?平面PAB，
所以BC⊥AD．…（2分）
又AD⊥PB，BC∩PB=B，
所以AD⊥平面PBC，得PC⊥AD，…（4分）
又PC⊥AE，AD∩AE=A，
所以PC⊥平面ADE，
因為DE?平面ADE，
所以PC⊥DE…（6分）
（Ⅱ）解：過點B作BE∥AP，則BZ⊥平面ABC，如圖所示，分別以BA，BC，BZ所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．   …（7分）
設(shè)PA=a，則A（2，0，0），C（0，2，0），P（2，0，a），
因為PC⊥平面ADE，所以

PC

=(-1，1，-a)是平面ADE的一個法向量，
所以向量

PC

與

AB

所成的角的余弦值的絕對值為

2

3

，…（9分）
又

AB

=(-2，0，0)
則|cos＜

PC

，

AB

＞|=|

PC • AB

| PC |•| AB |

|=|

(-2，2，-a)•(-2，0，0)

a2+8

|=

2

3

，解得a=1
所以PA=1…（12分）

點評：本題考查線面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角，考查向量知識的運用，考查學(xué)生分析解決問題的能力，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．