Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}$+$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，以橢圓的一個短軸端點及兩個焦點構(gòu)成的三角形的面積為$\sqrt{3}$，圓C方程為（x-a）²+（y-b）²=（$\frac{a}$）²．
（1）求橢圓及圓C的方程；
（2）過原點O作直線l與圓C交于A，B兩點，若$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解出即可得出．
（2）C（2，1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線l的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：y=kx，與圓的方程聯(lián)立化為：（1+k²）x²-（4+2k）x+1=0，由$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，可得（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=-2，即（1+k²）x₁x₂-（2+k）（x₁+x₂）+7=0，
把根與系數(shù)的關(guān)系代入解出即可得出．

解答 解：（1）由題意可得：$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，$\frac{1}{2}×2c×b$=$\sqrt{3}$，a²=b²+c²，
聯(lián)立解得a=2，b=1，c=$\sqrt{3}$．
∴橢圓的標準方程為：$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}$=1．
圓C的方程為：（x-2）²+（y-1）²=4．
（2）C（2，1），設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線l的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為：y=kx，
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=kx}\\{（x-2）^{2}+（y-1）^{2}=4}\end{array}\right.$，化為：（1+k²）x²-（4+2k）x+1=0，
△=（4+2k）²-4（1+k²）＞0，解得：$k＞-\frac{3}{4}$．
∴x₁x₂=$\frac{1}{1+{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{4+2k}{1+{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=-2，∴（x₁-2）（x₂-2）+（y₁-1）（y₂-1）=-2，
又y₁=kx₁，y₂=kx₂，∴（1+k²）x₁x₂-（2+k）（x₁+x₂）+7=0，
∴（1+k²）×$\frac{1}{1+{k}^{2}}$-（2+k）×$\frac{4+2k}{1+{k}^{2}}$+7=0，
化為：3k²-4k=0，
解得k=0，k=$\frac{4}{3}$．
∴直線l的方程為y=0，或y=$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了橢圓與圓的標準方程及其性質(zhì)、直線與圓相交問題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、向量數(shù)量積運算性質(zhì)，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．