設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sna1=1,an=
Sn
n
+2(n-1)

(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)an的表達(dá)式;
(2)是否存在自然數(shù)n,使得S1+
S2
2
+
S3
3
+…+
Sn
n
-(n-1)2=2011
?若存在,求出n的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
分析:(1)已知sn求an是數(shù)列中的常見(jiàn)題形,解決的辦法是分n=1與n≥2兩種情況分別求得a1與an,從而可求得an
(2)在n≥2時(shí),an=sn-sn-1=
sn
n
+2(n-1)
,經(jīng)過(guò)合理轉(zhuǎn)化,可得
sn
n
-
sn-1
n-1
=2
,又a1=1,利用等差數(shù)列的定義可以求得
sn
n
,從而問(wèn)題解決.
解答:解:(1)∵an=
sn
n
+2(n-1)
,
∴nan=sn+2n(n-1)①,
。╪-1)an-1=sn-1+2(n-1)(n-2)(n≥2)②,
①-②有:(n-1)an-(n-1)an-1=4(n-1)(n≥2),
∴an-an-1=4(n≥2),
∴{an}是1為首項(xiàng),4為公差的等差數(shù)列,
∴an=4n-3.
 (2)由已知條件可得,當(dāng)n≥2時(shí),sn-sn-1=
sn
n
+2(n-1)
,
 整理得:(n-1)sn-nsn-1=2n(n-1),等式兩端同除以n(n-1),
 得
sn
n
-
sn-1
n-1
=2
(n≥2),又
s1
1
=a1=1

{
sn
n
}
是1為首項(xiàng),2為公差的等差數(shù)列,
sn
n
=2n-1

s1
1
+
s2
2
+
s3
3
+…+
sn
n
-(n-1)2
=
(1+2n-1)•n
2
-(n-1)2
=2n-1,
∴存在自然數(shù)n,使等式成立,則2n-1=2011,解得n=1006,合乎題意.
點(diǎn)評(píng):本題考查遞推數(shù)列,考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法與數(shù)列求和,解題的關(guān)鍵是合理轉(zhuǎn)化,利用等差數(shù)列的定義求通項(xiàng),利用等差數(shù)列的求和公式求數(shù)列的和.
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精英家教網(wǎng)在平面直角坐標(biāo)系上,設(shè)不等式組
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y>0
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為整數(shù)的點(diǎn))的個(gè)數(shù)為an(n∈N*).
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(Ⅱ)設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)和為Sn,數(shù)列{
1
Sn
}的前項(xiàng)和Tn,
是否存在自然數(shù)m?使得對(duì)一切n∈N*,Tn>m恒成立.若存在,
求出m的值,若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)的和3Sn=(an-1),(n∈N*).
(1)求a1;a2;
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•寶雞模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和為Sn,點(diǎn)(n,
Snn
)(n∈N+)
均在函數(shù)y=2x-1的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=2n-1an,Tn是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求Tn

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

(2012•寶雞模擬)設(shè)數(shù)列{an}的前項(xiàng)n和為Sn,點(diǎn)(n,
Sn
n
)(n∈N+)
均在函數(shù)y=2x-1的圖象上.
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)bn=
4
anan+1
,Tn
是數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和,求證:Tn<1.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

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(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
(2)設(shè)數(shù)列{log2an}的前項(xiàng)和為T(mén)n,對(duì)數(shù)列{Tn},從第幾項(xiàng)起Tn≤-165?

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