【題目】設(shè)函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù)),, .
(1)若是的極值點,且直線分別與函數(shù)和的圖象交于,求兩點間的最短距離;
(2)若時,函數(shù)的圖象恒在的圖象上方,求實數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)1(2)
【解析】試題分析:
(1)結(jié)合題意可得|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x,結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)可得兩點間的最短距離是1;
(2)構(gòu)造函數(shù),結(jié)合題意可得實數(shù)的取值范圍是.
試題解析:
(1)因為F(x)=ex+sinxax,所以F′(x)=ex+cosxa,
因為x=0是F(x)的極值點,所以F′(0)=1+1a=0,a=2.
又當(dāng)a=2時,若x<0,F′(x)=ex+cosxa<1+12=0,
所以F′(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),所以F′(x)>F′(0)=1+12=0,所以x=0是F(x)的極小值點,
所以a=2符合題意,所以|PQ|=et+sint2t.令h(x)=ex+sinx2x,即h′(x)=ex+cosx2,
因為h′′(x)=exsinx,當(dāng)x>0時,ex>1,1sinx1,
所以h′′(x)=exsinx>0,所以h′(x)=ex+cosx2在(0,+∞)上遞增,
所以h′(x)=ex+cosx2>h′(0)=0,∴x∈[0,+∞)時,h(x)的最小值為h(0)=1,所以|PQ|min=1.
(2)令,
則,
,
因為當(dāng)時恒成立,
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增,∴當(dāng)時恒成立;
故函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以在時恒成立.
當(dāng)時, , 在單調(diào)遞增,即.
故時恒成立.
當(dāng)時,因為在單調(diào)遞增,所以總存在,使在區(qū)間上,導(dǎo)致在區(qū)間上單調(diào)遞減,而,所以當(dāng)時, ,這與對恒成立矛盾,所以不符合題意,故符合條件的的取值范圍是.
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【題目】正四棱錐P﹣ABCD,B1為PB的中點,D1為PD的中點,則兩個棱錐A﹣B1CD1 , P﹣ABCD的體積之比是( )
A.1:4
B.3:8
C.1:2
D.2:3
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【題目】橢圓C: =1(a>b>0)的離心率為 ,其左焦點到點P(2,1)的距離為 .
(Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),且以AB為直徑的圓過橢圓C的右頂點.求證:直線l過定點,并求出該定點的坐標(biāo).
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【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為,且.
(1)求證:數(shù)列為等比數(shù)列;
(2)設(shè)數(shù)列的前項和為,求證: 為定值;
(3)判斷數(shù)列中是否存在三項成等差數(shù)列,并證明你的結(jié)論.
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【題目】如圖,四邊形ABCD為正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB= PD.
(Ⅰ)證明:平面PQC⊥平面DCQ
(Ⅱ)求二面角Q﹣BP﹣C的余弦值.
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【題目】設(shè)橢圓M: =1(a>b>0)的離心率為 ,點A(a,0),B(0,﹣b),原點O到直線AB的距離為 .
(Ⅰ)求橢圓M的方程;
(Ⅱ)設(shè)直線l:y=2x+m與橢圓M相交于C、D不同兩點,經(jīng)過線段CD上點E的直線與y軸相交于點P,且有 =0,| |=| |,試求△PCD面積S的最大值.
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【題目】(Ⅰ)求不等式﹣x2﹣2x+3<0的解集(用集合或區(qū)間表示) (Ⅱ)求不等式|x﹣3|<1的解集(用集合或區(qū)間表示)
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【題目】已知圓C1:(x+3)2+y2=1和圓C2:(x﹣3)2+y2=9,動圓M同時與圓C1及圓C2相外切,求動圓圓心M的軌跡方程.
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【題目】已知函數(shù)f(x)= x2+ax+1(a∈R). (Ⅰ)當(dāng)a= 時,求不等式f(x)<3的解集;
(Ⅱ)當(dāng)0<x<2時,不等式f(x)>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍;
(Ⅲ)求關(guān)于x的不等式f(x)﹣ a2﹣1>0的解集.
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