Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-3ax+b（a≠0）．
（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，求a，b的值；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)；
（3）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，建立條件關(guān)系即可求a，b的值；
（2）利用函數(shù)單調(diào)性，極值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系即可求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)；
（3）根據(jù)函數(shù)最值的求法即可求出函數(shù)f（x）在區(qū)間[-3，3]上的最值．

解答： 解：（1）∵曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（x））處與直線y=8相切，
∴f（2）=8，f'（2）=0，
即8-6a+b=8，3×4-3a=0，
解得a=4，b=24．
（2）f′（x）=3x²-3a=3（x²-a），
若a≤0，則f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，無(wú)極值．
若a＞0，則由f′（x）＞0得x＞

a

或x＜-

a

，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，遞增區(qū)間為[

a

，+∞），（-∞，-

a

]，
由f′（x）＜0得-

a

＜x＜

a

，此時(shí)函數(shù)遞減，遞減區(qū)間為（-

a

，

a

），
即當(dāng)x=-

a

，函數(shù)取得極大值為f（-

a

）=-4a

a

+b，
當(dāng)x=

a

，函數(shù)取得極小值為f（

a

）=-2a

a

+b．
（3）若a≤0，則f′（x）≥0，此時(shí)函數(shù)單調(diào)遞增，
此時(shí)函數(shù)的最大值為f（3）=27-9a+b，最小值為f（-3）=-27+9a+b，
若a＞0，由（2）知，函數(shù)在-

a

＜x＜

a

，函數(shù)遞減，
則當(dāng)

a

≥3，即a≥9時(shí)，函數(shù)的最大值為f（-3）=-27+9a+b，
最小值為f（3）=27-9a+b，
若

a

＜3，即00＜a＜9，函數(shù)的最大值為f（-

a

）=-4a

a

+b，
函數(shù)取得最大值為f（

a

）=-2a

a

+b．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，要求熟練掌握函數(shù)的單調(diào)性，極值和最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．