Question

（本小題滿分12分）

已知函數(shù)的圖象與直線相切，切點的橫坐標(biāo)為.

（1）求函數(shù)的表達式和直線的方程；

（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（3）若不等式對定義域內(nèi)的任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍．

 

Answer 1

【答案】

（1）;（2）函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為;

（3）

【解析】本試題主要是考查了導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的運用。

（1）先求解導(dǎo)數(shù)，然后確定在給定點處的導(dǎo)數(shù)值，得到切線的斜率，從而得到切線方程。

（2）因為的定義域為所以由，可知函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求解。

（3）在的定義域內(nèi)恒成立時，可以構(gòu)造函數(shù)，再求解導(dǎo)數(shù)得到單調(diào)性和最值，求解得到結(jié)論。

解：（1）因為，所以，所以

   所以…………………………2分

所以，所以切點為（1，1），所以

所以直線的方程為…………………………4分

（2）因為的定義域為所以由得………6分

由得 …………………7分

故函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，單調(diào)增區(qū)間為…………………………8分

（3）令，則得

所以在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)…………………………10分

，所以…………………………11分

所以當(dāng)在的定義域內(nèi)恒成立時，實數(shù)的取值范圍是…………………12分