正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,E、F分別是AD、BC的中點(diǎn),
(1)求異面直線EF與CD所成的角;
(2)求D點(diǎn)到平面EBC的距離.
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解:(1)取AC的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,
根據(jù)三角形的中位線定理,可得GE∥CD
則∠GEF即為異面直線EF與CD所成的角
∵正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為a,
∴GE=FG=
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,EF=a
則∠GEF=
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(2)連接BE,CE,
由于E是AD的中點(diǎn),易得CE⊥AD,BE⊥AD
由BE∩CE=E,得AD⊥平面BCE
則D點(diǎn)到平面EBC的距離等于AD的一半,即
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分析:(1)取AC的中點(diǎn)G,連接EG,F(xiàn)G,則∠GEF即為異面直線EF與CD所成的角,解三角形GEF,即可求出異面直線EF與CD所成的角;
(2)連接BE,CE,根據(jù)“等邊三角形三線合一”的性質(zhì),及線面垂直的判定定理,可得AD⊥平面BCE,則DE長(zhǎng)即為D到平面EBC的距離.
點(diǎn)評(píng):本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角,點(diǎn)到平面的距離,其中(1)的關(guān)鍵是求出異面直線的平面角,(2)的關(guān)鍵是求出D點(diǎn)到平面BCE的垂線段.