如圖，以
3
2
為離心率的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A和B，點P是橢圓位于x軸上方的一點，且△PAB的面積最大值為2．
（Ⅰ）求橢圓方程；
（Ⅱ）設(shè)點Q是橢圓位于x軸下方的一點，直線AP、BQ的斜率分別為k1，k2，若k1=7k2，設(shè)△BPQ與△APQ的面積分別為S1，S2，求S1-S2的最大值．
考點：直線與圓錐曲線的綜合問題
專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題
分析：（Ⅰ）由已知條件推導(dǎo)出
c
a
=
3
2
ab=2
a2=b2+c2
，由此能求出橢圓方程．
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，代入
x2
4
+y2=1，得（m2+4）y2+2mty+t2-4=0利用根的判別式、韋達定理、直線斜率公式能求出S1-S2的最大值．
解答： 解：（Ⅰ）∵以
3
2
為離心率的橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左右頂點分別為A和B，
點P是橢圓位于x軸上方的一點，且△PAB的面積最大值為2，
∴
c
a
=
3
2
ab=2
a2=b2+c2
，（2分）
解得a=2，b=1，c=
3
，
∴橢圓方程為
x2
4
+y2=1．（4分）
（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），
設(shè)直線PQ的方程為x=my+t，代入
x2
4
+y2=1，
得（m2+4）y2+2mty+t2-4=0，（5分）
△=4m2t2-4m2t2-16t2+16m2+64=-16t2+16m2+64，
∵A（-2，0），B（2，0），直線AP、BQ的斜率分別為k1，k2，
∴k1=
y1
x1+2
，k2=
y2
x2-2
，
由k1=7k2，得
y1
x1+2
=
7y2
x2-2
，
∴
y12(x2-2)2
y12(x1+2)2
=49，∴
(1-
x12
4
)(x2-2)2
(1-
x22
4
)(x1+2)
=49，（7分）
∴
(2-x1)(2-x2)
(2+x1)(2+x2)
=49，∴12x1x2+25（x1+x2）+48=0，①
x1x2=（my1+t）（my2+t）=
4(t2-m2)
m2+4
，
x1+x2=（my1+t）+（my2+t）=
8t
m2+4
，
代入①得6t2+25t+24=0，得t=-
3
2
，或t=-
8
3
（是增根，舍去），（9分）
∴
y1+y2=
3m
m2+4
y1y2=
-
7
4
m2+4
，（10分）
所以|y1-y2|2=（y1+y2）2-4y1y2=
16m2+28
(m2+4)2

=-36（
1
m2+4
）2+16×
1
m2+4

=-36（
1
m2+4
-
2
9
）2+
16
9
≤
16
9
，
當(dāng)m2=
1
2
時最大值．（11分）
∴S1-S2=
1
2
×3×|y1-y2|=
3
2
×
16
9
=≤2，
∴S1-S2的最大值為2．（12分）
點評：本題考查橢圓方程的求法，考查兩個三角形面積之差的最大值的求法，綜合性強，難度大，解題時要注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

下列說法正確的是（　　）
A、梯形可以確定一個平面
B、圓心和圓上兩點可以確定一個平面
C、兩條直線a，b沒有公共點，那么a與b是異面直線
D、若a，b是兩條直線，α，β是兩個平面，且a?α，b?β，則a，b是異面直線

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1﹙a＞0，b＞0﹚，F(xiàn)1，F(xiàn)2是其左右焦點，若橢圓的離心率為
1
2
，橢圓的焦點到相應(yīng)準(zhǔn)線的距離為3，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）橢圓上是否存在一點M，使點M到其左準(zhǔn)線的距離MN是MF1，MF2的等比中項？若存在，求出該點的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，設(shè)橢圓C：
x2
a2
+
y2
a2
=1（a＞b＞0）的左、右焦點為F1，F(xiàn)2，短軸的兩個端點分別為A，B，且滿足|
F1A
+
F1B
|=|
F2A
-
F2B
|，橢圓C經(jīng)過點（
2
，1）．
（Ⅰ）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)過點M（
2
3
，0）且斜率為k的動直線l與橢圓C相交于P，Q兩點，問：在x軸的正半軸上是否存在一個定點T，使得無論直線l如何轉(zhuǎn)動，以PQ為直徑的圓恒過定點T？若存在，求出點T的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

設(shè)點P（-2，1）在拋物線x2=2py（p＞0）上，且到圓C：x2+（y+b）2=1上點的最小距離為1．
（Ⅰ）求p和b的值；
（Ⅱ）過點P作兩條斜率互為相反數(shù)的直線，分別與拋物線交于兩點A，B，若直線AB與圓C交于不同兩點M，N．
（i）證明直線AB的斜率為定值；
（ii）求△PMN面積取最大值時直線AB的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F（0，1）．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）如圖，過F作兩條互相垂直的直線l1與l2，分別交拋物線C于A、B與D、E，設(shè)AB、DE的中點分別為M、N，求△FMN面積S的最小值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

學(xué)校設(shè)計了一個實驗學(xué)科的考查方案：考生從6道備選題中一次隨機抽取3道題，按照題目要求獨立完成全部實驗操作，并規(guī)定：在抽取的3道題中，至少正確完成其中2道題便可通過考查．已知6道備選題中考生甲有4道題能正確完成，2道題不能完成；考生乙每題正確完成的概率都為
2
3
，且每題正確完成與否互不影響．
（1）求考生甲正確完成題目個數(shù)ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；
（2）用統(tǒng)計學(xué)知識分析比較甲、乙兩考生哪位實驗操作能力強及哪位通過考查的可能性大？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線C：x2=2py（p＞0），定點M（0，5），直線l：y=
p
2
與y軸交于點F，O為原點，若以O(shè)M為直徑的圓恰好過l與拋物線C的交點．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）過點M作直線交拋物線C于A，B兩點，連AF，BF延長交拋物線分別于A′，B′，求證：拋物線C分別過A′，B′兩點的切線的交點Q在一條定直線上運動．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

觀察下列命題
①命題“對任意的x＜0，x3-x2+1≤0”的否定是“存在x≥0，x3-x2+1＞0”；
②函數(shù)f（x）=2x-x2的零點有2個；③若函數(shù)f（x）=x2-|x+a|為偶函數(shù)，則實數(shù)a=0；
④若函數(shù)f（x）=
ax-5，(x＞6)
(4-
a
2
)x+4，(x≤6)
在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為（1，8）．       
其中真命題的序號是
 
（寫出所有正確命題的編號）．

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