Question

已知函數f(x)=

ax2+bx

，存在正數b，使得f（x）的定義域和值域相同．
（1）求非零實數a的值；
（2）若函數g(x)=f(x)-

b

x

有零點，求b的最小值．

Answer 1

分析：（1）由題設函數的定義域與值域相同，故可以求出參數表示的函數的定義域與值域，由兩者相同，故比較二區(qū)間的端點得出參數滿足的方程解方程求參數即可．
（2）由（1）解出a=-4，函數g(x)=f(x)-

b

x

有零點，即

-4x2+bx

=

b

x

在D=[0，

b

4

]上有根，可以轉化為4x⁴-bx³+b²=0在D=[0，

b

4

]上有根，下根據方程的根與函數零點的關系將方程有根的問題轉化為研究函數h（x）=4x⁴-bx³+b²在D=[0，

b

4

]上存在零點的條件來求參數b的最小值．

解答：解：（1）若a＞0，對于正數b，f（x）的定義域為
D=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，對于正數b，f（x）的定義域為D=[0，-

b

a

]．
由于此時[f(x)]max=f(-

b

2a

)=

b

2 -a

，
故函數的值域A=[0，

b

2 -a

]．
由題意，有-

b

a

=

b

2 -a

，由于b＞0，所以a=-4．
（2）由f(x)-

b

x

=0，即

-4x2+bx

=

b

x

(0＜x≤

b

4

)，
得4x⁴-bx³+b²=0．
記h（x）=4x⁴-bx³+b²，
則h′（x）=16x³-3bx²，令h′（x）=0，x=

3b

16

∈(0，

b

4

]（10分）
易知h(x)在(0，

3b

16

]上遞減；在[

3b

16

，

b

4

]上遞增．
∴x=

3b

16

是h（x）的一個極小值點．（12分）
又h(

b

4

)=b2＞0，h(0)→b2＞0，∴由題意有：h(

3b

16

)≤0，（14分）
即4(

3b

16

)4-b(

3b

16

)3+b2≤0，∴b2≥

4

( 3 16 )3

，
故bmin=

128 3

9

．（16分）

點評：本題考點是函數零點判定定理，考查求函數的定義域、值域以及根據函數的定義域、值域求參數，本題出題方式有創(chuàng)新，再就是考查了用函數的圖象變化特性求參數的最小值，由本題解題過程可以看出，函數零點的存在性問題常與函數圖象的變化相結合，故此類綜合題解題一般會且到導數這一工具．做題時做注意總結本題的解題規(guī)律，以推廣到同類題的求解中去．