Question

已知函數(shù)．
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）≥0在（0，+∞）內(nèi)恒成立，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）n∈N^*，求證：．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=alnx+x²-（1+a）x（x＞0），
∴f′（x）=+x-（1+a），x＞0，
①當a≤0時，若0＜x＜1，則f′（x）＜0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，1）；
若x＞1，則f′（x）＞0，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間是（1，+∞）．
②當0＜a＜1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（a，1）；
單調(diào)增區(qū)間是（0，a），（1，+∞）．
③當a=1時，則f′（x）=≥0，
故函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，+∞）；
⑤當a＞1時，函數(shù)f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間是（1，a）；
函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間是（0，1），（a，+∞）．
（2）由于f（1）=--a，
當a＞0時，f（1）＜0，
此時f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．
當a≤0時，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的極小值，也是最小值為f（1）=--a，
此時，f（1）≥0，解得a≤-，
故實數(shù)a的取值范圍是（-∞，-）．
（3）由（2）知，當a=-時，
f（x）=-lnx+x²-x≥0，當且僅當x=1時，等號成立，
這個不等式等價于lnx≤x²-x．
當x＞1時，變換為 ＞=-，
在上面的不等式中，
令x=2，3，…，1+n，
則有＞（1-）+（ -）+（ -）+…+（ -）=，
即對任意的正整數(shù)n，不等式 恒成立．
分析：（1）由f（x）=alnx+x²-（1+a）x（x＞0），得f′（x）=+x-（1+a），x＞0，由此根據(jù)a的取值范圍進行分類討論，能求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由于f（1）=--a，當a＞0時，f（1）＜0，此時f（x）≥0對定義域內(nèi)的任意x不是恒成立的．當a≤0時，由（1）得f（x）在區(qū)間（0，+∞）上取得最小值為f（1）=--a，由此能求出實數(shù)a的取值范圍．
（3）由（2）知，當a=-時，f（x）=-lnx+x²-x≥0，當且僅當x=1時，等號成立，這個不等式等價于lnx≤x²-x．由此能夠證明對任意的正整數(shù)n，不等式恒成立．
點評：本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法，考查實數(shù)的取值范圍的求法，考查不等式恒成立的證明．解題時要認真審題，仔細解答，注意導數(shù)的性質(zhì)和分類討論思想的靈活運用．