Question

已知函數(shù)f（x）=x³-ax²-3x
（1）若f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若x=-是f（x）的極值點，求f（x）在[1，a]上的最大值．

Answer 1

解：（1）求導函數(shù)，可得f′（x）=3x²-2ax-3，
∵f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立
∴3x²-2ax-3≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立
∴且f′（1）=-2a≥0
∴a≤0
（2）∵x=-是f（x）的極值點，∴
∴
∴a=4
∴f（x）=x³-4x²-3x，f′（x）=3x²-8x-3，∴x₁=-，x₂=3
令f′（x）＞0，1＜x＜4，可得3＜x＜4；令f′（x）＜0，1＜x＜4，可得1＜x＜3；
∴x=3時，函數(shù)取得最小值-18
∵f（1）=-6，f（4）=-12
∴f（x）在[1，4]上的最大值為-6．
分析：（1）求導函數(shù)，利用f（x）在區(qū)間[1，+∞）上是增函數(shù)，可得f′（x）≥0在區(qū)間[1，+∞）上恒成立，由此可求實數(shù)a的取值范圍；
（2）利用x=-是f（x）的極值點，求出a的值，再求出函數(shù)的極值，把極值同兩個端點的值進行比較得到最值
點評：本題考查導數(shù)的應用，求極值和求最值，考查恒成立問題，考查學生等價轉化問題的能力，屬于中檔題．