已知橢圓的左焦點為，點F到右頂點的距離為
（I）求橢圓的方程；
（II）設直線l與橢圓交于A、B兩點，且與圓相切，求△AOB的面積為時求直線l的斜率．
【答案】分析：（I）利用橢圓的左焦點為，點F到右頂點的距離為，求出橢圓的幾何量，即可求得橢圓的方程；
（II）當直線l的斜率不存在時，不符合題意；當直線l的斜率存在時，設l的方程，利用直線l與圓相切，確定m，k的關系，再利用韋達定理及△AOB的面積為，即可求得直線l的斜率．
解答：解：（I）由題意得c=，a+c=
∴，∴b2=a2-c2=1
∴橢圓的方程為；
（II）當直線l的斜率不存在時，l的方程為，代入橢圓方程，可得，此時|AB|=，△AOB的面積為S==，不符合題意；
當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），
∵直線l與圓相切，∴=，即
直線與橢圓方程聯(lián)立，消去y可得（3k2+1）x2+6kmx+3m2-3=0
∴x1+x2=，x1x2=
∴|AB|=×=×
∴×××=，∴k=±
即直線l的斜率為±．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與圓、橢圓的位置關系，考查三角形面積的計算，正確運用韋達定理是關鍵．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的左焦點為F1（-c，0），C上存在一點P到橢圓左焦點的距離與到橢圓右準線的距離相等．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）若已知橢圓的左焦點為（-1，0），右準線為x=4，圓x2+y2=
12
7
的切線與橢圓交于A、B兩點，求證：OA⊥OB（O為坐標原點）．

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科目：高中數(shù)學 來源：2015屆安徽池州第一中學高二上學期期中考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

在平面直角坐標系中，已知橢圓的左焦點為，且橢圓的離心率.

(1)求橢圓的方程；

(2)設橢圓的上下頂點分別為,是橢圓上異于的任一點,直線分別交軸于點,證明:為定值,并求出該定值；

(3)在橢圓上，是否存在點，使得直線與圓相交于不同的兩點，且的面積最大？若存在，求出點的坐標及對應的的面積；若不存在，請說明理由.

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2012-2013學年甘肅省高三第三次模擬考試理科數(shù)學試卷（解析版） 題型：解答題

如圖，已知橢圓的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點．

（Ⅰ）若點G的橫坐標為，求直線AB的斜率；

（Ⅱ）記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點）的面積為S2．

試問：是否存在直線AB，使得S1=S2？說明理由．

 

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科目：高中數(shù)學 來源：2011-2012學年廣東省四校高三上學期期末聯(lián)考文科數(shù)學 題型：解答題

．（本小題滿分14分）

已知橢圓的左焦點為,離心率e=,M、N是橢圓上的動

點。

（Ⅰ）求橢圓標準方程；

（Ⅱ）設動點P滿足：，直線OM與ON的斜率之積為，問：是否存在定點，

使得為定值？，若存在，求出的坐標，若不存在，說明理由。

（Ⅲ）若在第一象限，且點關于原點對稱，點在軸上的射影為，連接 并延長

交橢圓于點，證明：；

 

 

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科目：高中數(shù)學 來源：浙江省舟山市09-10學年高二下學期期末聯(lián)考數(shù)學文 題型：選擇題

已知橢圓的左焦點為，右頂點為，點在橢圓上，且軸， 直線交軸于點．若，則橢圓的離心率是（  ）w.w.w.七彩教育網(wǎng).c.o.m   

A．         B．          C．            D． 

 

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