Question

如圖，橢圓與橢圓中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)均在軸上，且離心率相同．橢圓的長軸長為，且橢圓的左準(zhǔn)線被橢圓截得的線段長為，已知點(diǎn)是橢圓上的一個動點(diǎn)．

⑴求橢圓與橢圓的方程；
⑵設(shè)點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為橢圓的下頂點(diǎn)，若直線剛好平分，求點(diǎn)的坐標(biāo)；
⑶若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)滿足，則直線與直線的斜率之積是否為定值？若是，求出該定值；若不是，說明理由．

Answer 1

（1）,（2），（3）.

試題分析：（1）求橢圓方程，基本方法是待定系數(shù)法.關(guān)鍵是找全所需條件. 橢圓中三個未知數(shù)的確定只需兩個獨(dú)立條件，根據(jù)橢圓的長軸長為得，又由橢圓的左準(zhǔn)線得，所以，，，就可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；由橢圓與橢圓離心率相同，得再由橢圓過點(diǎn)，代入可得橢圓（2）涉及弦中點(diǎn)問題,一般用“點(diǎn)差法”構(gòu)造等量關(guān)系.本題較簡單,可直接求出中點(diǎn)坐標(biāo),再利用直線與橢圓聯(lián)立方程組求交點(diǎn)坐標(biāo);（3）求定值問題,一是確定定值,這可利用特殊情況給于確定,二是參數(shù)選擇,不僅要揭示問題本質(zhì),更要易于消元,特別是整體消元.本題研究的是直線與直線的斜率之積,即它們坐標(biāo)滿足為定值,參數(shù)選為點(diǎn)的坐標(biāo),利用點(diǎn)的坐標(biāo)滿足進(jìn)行整體消元.
試題解析：⑴設(shè)橢圓方程為，橢圓方程為，
則，∴，又其左準(zhǔn)線，∴，則
∴橢圓方程為，其離心率為，                            3分
∴橢圓中，由線段的長為，得,代入橢圓，
得，∴，橢圓方程為；                        6分
⑵，則中點(diǎn)為，∴直線為，   7分
由，得或，
∴點(diǎn)的坐標(biāo)為；                      10分
⑶設(shè)，，則，，
由題意，∴               12分
∴
            14分
∴，∴，即，
∴直線與直線的斜率之積為定值，且定值為．             16分