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已知函數f(x)=kx3+3(k-1)x2-k2+1在x=0,x=4處取得極值.
(1)求常數k的值;
(2)求函數f(x)的單調區(qū)間與極值;
(3)設g(x)=f(x)+c,且?x∈[-1,2],g(x)≥2c+1恒成立,求c的取值范圍.

解:(1)f'(x)=3kx2+6(k-1)x,由于在x=0,x=4處取得極值,
∴f'(0)=0,f'(4)=0,
可求得…(2分)
(2)由(1)可知,f'(x)=x2-4x=x(x-4),f'(x),f(x)隨x的變化情況如下表:
x(-∞,0)0(0,4)4(4,+∞)
f'(x)+0-0+
f(x)極大值極小值
∴當x<0或x>4,f(x)為增函數,0≤x≤4,f(x)為減函數; …(4分)
∴極大值為,極小值為…(5分)
(3)要使命題成立,需使g(x)的最小值不小于2c+1
由(2)得:…(6分)
,
…(8分)
分析:(1)因為函數兩個極值點已知,令f′(x)=3kx2+6(k-1)x=0,把0和4代入求出k即可.
(2)利用函數的導數確定函數的單調區(qū)間,f′(x)=3kx2+6(k-1)x=x2-4x=x(x-4)大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可,把函數導數為0的x值代到f(x)中,通過表格,判斷極大、極小值即可.
(3)要使命題成立,需使g(x)的最小值不小于2c+1,由(2)得:g(-1)和g(2)其中較小的即為g(x)的最小值,列出不等關系即可求得c的取值范圍.
點評:考查學生會利用導數研究函數的單調性、會利用導數研究函數的極值,掌握不等式恒成立時所取的條件.以及會求一元二次不等式的解集.做題時學生應掌握轉化的方法變形.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設t=logax+logxa.
(Ⅰ)當x∈(1,a)∪(a,+∞)時,將f(x)表示成t的函數h(t),并探究函數h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當k=4時,若對?x1∈(1,+∞),?x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實數b的取值范圍..

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
k+1x
(k<0),求使得f(x+k)>1成立的x的集合.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=k•a-x(k,a為常數,a>0且a≠1)的圖象過點A(0,1),B(3,8).
(1)求實數k,a的值;
(2)若函數g(x)=
f(x)-1f(x)+1
,試判斷函數g(x)的奇偶性,并說明理由.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2012•蕪湖二模)給出以下五個命題:
①命題“?x∈R,x2+x+1>0”的否定是:“?x∈R,x2+x+1<0”.
②已知函數f(x)=k•cosx的圖象經過點P(
π
3
,1),則函數圖象上過點P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=(a-2)x-1垂直的充要條件.
④函數f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間(0,1)上存在零點.
⑤已知向量
a
=(1,-2)
與向量
b
=(1,m)
的夾角為銳角,那么實數m的取值范圍是(-∞,
1
2

其中正確命題的序號是
②③④
②③④

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科目:高中數學 來源: 題型:

(已知函數f(x)=k[(logax)2+(logxa)2]-(logax)3-(logxa)3,(其中a>1),g(x)=x2-2bx+4,設t=logax+logxa.
(Ⅰ)當x∈(1,a)∪(a,+∞)時,試將f(x)表示成t的函數h(t),并探究函數h(t)是否有極值;
(Ⅱ)當k=4時,若對任意的x1∈(1,+∞),存在x2∈[1,2],使f(x1)≤g(x2),試求實數b的取值范圍..

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