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已知函數f（x）=kx3+3（k-1）x2-k2+1在x=0，x=4處取得極值．
（1）求常數k的值；
（2）求函數f（x）的單調區(qū)間與極值；
（3）設g（x）=f（x）+c，且?x∈[-1，2]，g（x）≥2c+1恒成立，求c的取值范圍．

解：（1）f'（x）=3kx2+6（k-1）x，由于在x=0，x=4處取得極值，
∴f'（0）=0，f'（4）=0，
可求得…（2分）
（2）由（1）可知，f'（x）=x2-4x=x（x-4），f'（x），f（x）隨x的變化情況如下表：
x（-∞，0）0（0，4）4（4，+∞）
f'（x）+0-0+
f（x）極大值極小值
∴當x＜0或x＞4，f（x）為增函數，0≤x≤4，f（x）為減函數； …（4分）
∴極大值為，極小值為…（5分）
（3）要使命題成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1
由（2）得：…（6分）
∴，
∴…（8分）
分析：（1）因為函數兩個極值點已知，令f′（x）=3kx2+6（k-1）x=0，把0和4代入求出k即可．
（2）利用函數的導數確定函數的單調區(qū)間，f′（x）=3kx2+6（k-1）x=x2-4x=x（x-4）大于零和小于零分別求出遞增和遞減區(qū)間即可，把函數導數為0的x值代到f（x）中，通過表格，判斷極大、極小值即可．
（3）要使命題成立，需使g（x）的最小值不小于2c+1，由（2）得：g（-1）和g（2）其中較小的即為g（x）的最小值，列出不等關系即可求得c的取值范圍．
點評：考查學生會利用導數研究函數的單調性、會利用導數研究函數的極值，掌握不等式恒成立時所取的條件．以及會求一元二次不等式的解集．做題時學生應掌握轉化的方法變形．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，將f（x）表示成t的函數h（t），并探究函數h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對?x1∈（1，+∞），?x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數b的取值范圍．．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=
k+1x
（k＜0），求使得f（x+k）＞1成立的x的集合．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知函數f（x）=k•a-x（k，a為常數，a＞0且a≠1）的圖象過點A（0，1），B（3，8）．
（1）求實數k，a的值；
（2）若函數g(x)=
f(x)-1f(x)+1
，試判斷函數g（x）的奇偶性，并說明理由．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•蕪湖二模）給出以下五個命題：
①命題“?x∈R，x2+x+1＞0”的否定是：“?x∈R，x2+x+1＜0”．
②已知函數f（x）=k•cosx的圖象經過點P（
π
3
，1），則函數圖象上過點P的切線斜率等于-
3

③a=1是直線y=ax+1和直線y=（a-2）x-1垂直的充要條件．
④函數f(x)=(
1
2
)x-x
1
3
在區(qū)間（0，1）上存在零點．
⑤已知向量
a
=(1，-2)與向量
b
=(1，m)的夾角為銳角，那么實數m的取值范圍是（-∞，
1
2
）
其中正確命題的序號是
②③④
②③④
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

（已知函數f（x）=k[（logax）2+（logxa）2]-（logax）3-（logxa）3，（其中a＞1），g（x）=x2-2bx+4，設t=logax+logxa．
（Ⅰ）當x∈（1，a）∪（a，+∞）時，試將f（x）表示成t的函數h（t），并探究函數h（t）是否有極值；
（Ⅱ）當k=4時，若對任意的x1∈（1，+∞），存在x2∈[1，2]，使f（x1）≤g（x2），試求實數b的取值范圍．．

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