Question

如圖，平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A、B、C在x軸上，點(diǎn)D、E在y軸上，OA=OD=2，

OC=OE=4，DB⊥DC，直線AD與經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線交于F、G兩點(diǎn)，與其對稱軸交

于M.點(diǎn)P為線段FG上一個動點(diǎn)(與F、G不重合)，PQ∥y軸與拋物線交于點(diǎn)Q.

(1)求經(jīng)過B、E、C三點(diǎn)的拋物線的解析式；

(2)是否存在點(diǎn)P，使得以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似？若存在，求出滿足條件

的點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；

(3)若拋物線的頂點(diǎn)為N，連接QN，探究四邊形PMNQ的形狀：①能否成為菱形；②能否成

為等腰梯形？若能，請直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不能，請說明理由.

 

Answer 1

【答案】

(1) y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4  (2)存在符合條件的P點(diǎn) (3)存在

【解析】

試題分析：（1）在R t △BDC中，OD⊥BC， 由射影定理，得：OD²=OB?OC； 則OB=OD²

÷OC=1；∴B（-1，0）； ∴B（-1，0），C（4，0），E（0，4）； 設(shè)拋物線的解析式為：

y=a（x+1）（x-4）（a≠0），則有：  a（0+1）（0-4）=4，a=-1；∴y=-（x+1）（x-4）=-x²+3x+4；

（2）因為A（-2，0），D（0，2）； 所以直線AD：y=x+2； 聯(lián)立拋物線的解析式可求得F

（1- ，3- ），G（1+  ，3+  ）； 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，x+2）（1-  ＜x＜

1+ ），則Q（x，-x²+3x+4）； ∴PQ=-x²+3x+4-x-2=-x²+2x+2； 易知M（ ， ）。 若

以P、Q、M為頂點(diǎn)的三角形與△AOD相似，則△PQM為等腰直角三角形； ①以M為直

角頂點(diǎn)，PQ為斜邊，則P（2-  ，4-  ）； ②以Q為直角頂點(diǎn)，PM為斜邊；

P（ ， ）故存在符合條件的P點(diǎn)，且P點(diǎn)坐標(biāo)為（2-  ，4-  ）

或（ ， ）；（3）易知N（ ， ），M（ ， ）； 設(shè)P點(diǎn)

坐標(biāo)為（m，m+2）， 則Q（m，-m²+3m+4）；（1- ＜m＜1+  ） ∴PQ=-m²+2m+2，

NM= ； ①若四邊形PMNQ是菱形，則首先四邊形PMNQ是平行四邊形，有： MN=PQ，

即：-m2+2m+2=  ， 解得m= ，m= （舍去）；當(dāng)m= 時，P（ ， ），Q

（ ， ） 此時PM≠M(fèi)N，故四邊形PMNQ不可能是菱形； ②由于當(dāng)NQ∥PM時，

四邊形PMNQ是平行四邊形，所以若四邊形PMNQ是梯形，只有一種情況：PQ∥MN，此

時P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）．

∴四邊形PMNQ可以是等腰梯形，且P點(diǎn)坐標(biāo)為（ ， ）．

考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合應(yīng)用

點(diǎn)評：此題是二次函數(shù)的綜合題，考查的知識點(diǎn)有：直角三角形的性質(zhì)，二次函數(shù)的確定，

等腰三角形、菱形、等腰梯形的判定和性質(zhì)等，同時還考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想；要特別

注意的是在判定梯形的過程中，不要遺漏證明另一組對邊不平行的條件．