已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn),N是棱CD上異于端點(diǎn)C,D的任一點(diǎn),則下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)有( 。
(1)MN⊥AB;               (2)若N為中點(diǎn),則MN與AD所成角為45°;
(3)平面CDM⊥平面ABN;      (4)存在點(diǎn)N,使得過MN的平面與AC垂直.
分析:連接CM、DM,可證明出AB⊥平面CDM,從而MN⊥AB,得(1)正確;取AC中點(diǎn)E,連接EM、EN,利用三角形中位線定理證明出EN、NM所成的直角或銳角,就是異面直線MN、AD所成的角,再通過余弦定理,可以求出MN與AD所成角為45°,故(2)正確;根據(jù)(1)的正確結(jié)論:MN⊥AB,結(jié)合平面與平面垂直的判定定理,得到(3)正確;對(duì)于(4),若存在點(diǎn)N,使得過MN的平面與AC垂直,說明存在N的一個(gè)位置,使MN⊥AC.因此證明出“不論N在線段CD上的何處,都不可能有MN⊥AC”,從而說明不存在點(diǎn)N,使得過MN的平面與AC垂直.
解答:解:(1)連接CM、DM
∵正△ABC中,M為AB的中點(diǎn)
∴CM⊥AB
同理DM⊥AB,結(jié)合MC∩MD=M
∴AB⊥平面CDM,而MN⊆平面CDM
∴MN⊥AB,故(1)是正確的;
(2)取AC中點(diǎn)E,連接EM、EN
∵△ADC中,E、N分別是AC、CD的中點(diǎn)
∴EN∥AD,EN=
1
2
AD.
∴EN、NM所成的直角或銳角,就是異面直線MN、AD所成的角
設(shè)正四面體棱長為2a,在△MCD中,CM=DM=
3
2
×2a=
3
a

則Rt△MNC中CN=
1
2
×2a
=a
MN=
CM2-CN2
=
2
a

在△MNE中,ME=EN=
1
2
×2a=a

cos∠ENM=
EN2+MN2-EM2
2×EN×MN
=
2
2

∴∠ENM=45°,即異面直線MN、AD所成的角是45°,故(2)正確;
(3)由(1)的證明知:AB⊥平面CDM
∵AB?平面ABN
∴平面ABN⊥平面CDM,故(3)正確;
(4)若有MN⊥AC,根據(jù)(1)的結(jié)論MN⊥AB,
因?yàn)锳B、AC相交于A點(diǎn),所以MN⊥平面ABC
∵△MCD中,CM=MD=
3
a
,CD=2a
∴cos∠CMD=
CM2+MD2-CD2
2•CM•MD
=
1
3
>0

可得∠CMD是銳角,說明點(diǎn)N在線段CD上從C到D運(yùn)動(dòng)過程中,
∠CMN的最大值是銳角,不可能是直角,
因?yàn)镃M?平面ABC,CM與NM不能垂直,
以上結(jié)論與MN⊥平面ABC矛盾,
故不論N在線段CD上的何處,都不可能有MN⊥AC.
因此不存在點(diǎn)N,使得過MN的平面與AC垂直.
綜上所述,正確的命題為(1)(2)(3)
故選C
點(diǎn)評(píng):本題以正四面體為例,著重考查了直線與平面垂直的判定、平面與平面垂直的判定和異面直線及其所成的角等知識(shí)點(diǎn),屬于中檔題.
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已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn),N是棱CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)有( 。
(1)MN⊥AB;            
(2)VA-MCD=VB-MCD;     
(3)平面CDM⊥平面ABN; 
(4)CM與AN是相交直線.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn),N,E分別是棱CD,BD上的任意點(diǎn),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有( 。
(1)MN⊥AB;              (2)若N為中點(diǎn),則MN與AD所成角為45°;
(3)平面CDM⊥平面ABN;  (4)若E為中點(diǎn),則幾何體E-BMN的體積為定值.

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已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn),N是棱CD的中點(diǎn),則下列結(jié)論中,正確的個(gè)數(shù)有( )
(1)MN⊥AB;            
(2)VA-MCD=VB-MCD;     
(3)平面CDM⊥平面ABN; 
(4)CM與AN是相交直線.
A.1 個(gè)
B.2 個(gè)
C.3 個(gè)
D.4個(gè)

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2011年黑龍江省哈爾濱六中高考數(shù)學(xué)三模試卷(文科)(解析版) 題型:選擇題

已知M是正四面體ABCD棱AB的中點(diǎn),N,E分別是棱CD,BD上的任意點(diǎn),則下列結(jié)論正確的個(gè)數(shù)有( )
(1)MN⊥AB;              (2)若N為中點(diǎn),則MN與AD所成角為45°;
(3)平面CDM⊥平面ABN;  (4)若E為中點(diǎn),則幾何體E-BMN的體積為定值.
A.1
B.2
C.3
D.4

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