Question

若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則這個(gè)橢圓的方程為（　�。�

• A、

  x2

  12

  +

  y2

  20

  =1
• B、

  x2

  4

  +

  y2

  12

  =1
• C、

  x2

  12

  +

  y2

  8

  =1
• D、

  x2

  8

  +

  y2

  12

  =1

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意設(shè)出橢圓方程，和直線方程聯(lián)立后化為關(guān)于y的一元二次方程，然后利用根與系數(shù)關(guān)系求解．

解答： 解：∵橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），
則a²-b²=4，
∴可設(shè)橢圓方程為

y2

b2+4

+

x2

b2

=1，
聯(lián)立

y=3x+7 y2 b2+4 + x2 b2 =1

，得（10b²+4）y²-14（b²+4）y-9b⁴+13b²+196=0，
設(shè)直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的端點(diǎn)為（x₁，y₁），（x₂，y₂），
∴y1+y2=

14(b2+4)

10b2+4

=2．
解得：b²=8．
∴a²=12．
則橢圓方程為：

x2

8

+

y2

12

=1．
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了橢圓的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，考查了橢圓方程的求法，涉及直線與圓錐曲線關(guān)系問(wèn)題，常采用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系求解，是中檔題．