Question

(理)已知函數(shù)f(x)在R上有定義，對任意實數(shù)a＞0和任意實數(shù)x，都有f(ax)＝af(x)．

(1)證明：f(0)＝0；

(2)證明：f(x)＝其中k和h均為常數(shù)；

(3)當(dāng)(2)中的k＞0時，設(shè)g(x)＝＋f(x)(x＞0)，討論g(x)在(0，＋∞)內(nèi)的單調(diào)性并求極值．

Answer 1

答案：
解析：

(理)分析：本小題主要考查函數(shù)的概念、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用、函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值等知識，考查運用數(shù)學(xué)知識解決問題及推理的能力． 　　(1)解：對于任意的a＞0，x∈R，均有f(ax)＝af(x)　�、� 　　在①中取a＝2，x＝0，即得f(0)＝2f(0)． 　　∴f(0)＝0　�、� 　　(2)解：當(dāng)x＞0時，由①得f(x)＝f(x·1)＝xf(1)． 　　取k＝f(1)，則有f(x)＝kx　�、� 　　當(dāng)x＜0時，由①得f(x)＝f[(－x)·(－1)]＝(－x)f(－1)． 　　取h＝－f(－1)，則有f(x)＝hx　�、� 　　綜合②③④得 　　(3)解法一：由(2)中的③知，當(dāng)x＞0時，g(x)＝，從而(x)＝，x＞0． 　　又因為k＞0，由此可得 　　所以g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在x＝處取得極小值2． 　　解法二：由(2)中的③知，當(dāng)x＞0時，g(x)＝． 　　設(shè)x1、x2∈(0，＋∞)，且x1＜x2，則 　　g(x2)－g(x1)＝＋kx2－(＋kx1) 　�。�·＋k(x2－x1) 　　＝(k2x1x2－1)． 　　又因為k＞0，所以 　　(ⅰ)當(dāng)0＜x1＜x2＜時，g(x2)＜g(x1)； 　　(ⅱ)當(dāng)0＜＜x1＜x2時，g(x2)＞g(x1)． 　　所以g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)單調(diào)遞減，在區(qū)間(，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增，在x＝處取得極小值2．