Question

（05年江西卷理）（14分）

如圖，設(shè)拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)為F，動(dòng)點(diǎn)P在直線(xiàn)上運(yùn)動(dòng)，過(guò)P作拋物線(xiàn)C的兩條切線(xiàn)PA、PB，且與拋物線(xiàn)C分別相切于A、B兩點(diǎn).

（1）求△APB的重心G的軌跡方程.

（2）證明∠PFA=∠PFB.

 

Answer 1

解析：（1）設(shè)切點(diǎn)A、B坐標(biāo)分別為，

∴切線(xiàn)AP的方程為：

  切線(xiàn)BP的方程為：

解得P點(diǎn)的坐標(biāo)為：

所以△APB的重心G的坐標(biāo)為 ，

所以，由點(diǎn)P在直線(xiàn)l上運(yùn)動(dòng)，從而得到重心G的軌跡方程為：

   （2）方法1：因?yàn)?IMG height=43 src='http://thumb.1010pic.com/pic1/img/20090418/20090418190607009.gif' width=405>

由于P點(diǎn)在拋物線(xiàn)外，則

∴

同理有

∴∠AFP=∠PFB.

方法2：①當(dāng)所以P點(diǎn)坐標(biāo)為，則P點(diǎn)到直線(xiàn)AF的距離為：

即

所以P點(diǎn)到直線(xiàn)BF的距離為：

所以d₁=d₂，即得∠AFP=∠PFB.

②當(dāng)時(shí)，直線(xiàn)AF的方程：

直線(xiàn)BF的方程：

所以P點(diǎn)到直線(xiàn)AF的距離為：

，同理可得到P點(diǎn)到直線(xiàn)BF的距離，因此由d₁=d₂，可得到∠AFP=∠PFB.