（本小題共12分）

如圖，在正三棱柱ABC—A1B1C1中，點(diǎn)D是棱AB的中點(diǎn)，BC=1，AA1=

（1）求證：BC1//平面A1DC；

（2）求二面角D—A1C—A的大小

 

 

【答案】

（1）略

（2）設(shè)二面角D—A1C—A的大小為

【解析】（I）證明：連結(jié)AC1交A1C于點(diǎn)G，連結(jié)DG，

在正三棱柱ABC—A1B1C1中，四邊形ACC1A1是平行四邊形，
 

…………2分

…………4分

（II）解法一： 過點(diǎn)D作交AC于E，過點(diǎn)D作交A1C于F，連結(jié)EF。
 

是二面角D—A1C—A的平面角，…………8分

在直角三角形ADC中，

同理可求：

…………12分

解法二：過點(diǎn)A作交BC于O，過點(diǎn)O作交B1C1于E。

因?yàn)槠矫?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052401000425006126/SYS201205240101184687508702_DA.files/image026.png">

所以，分別以CB、OE、OA所在的直線為建立空間直角坐標(biāo)系，

如圖所示，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012052401000425006126/SYS201205240101184687508702_DA.files/image029.png">是等邊三角形，所以O(shè)為BC的中點(diǎn)，則

 
…6分 設(shè)平面A1DC的法向量為

則

取……8分

可求平面ACA1的一個(gè)法向量為…………10分

設(shè)二面角D—A1C—A的大小為

…………12分

 

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（1）求證：∥平面；

（2）求證：平面BCE⊥平面．

 

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