如圖,在四棱錐中,底面
為直角梯形,且
,
,側(cè)面
底面
. 若
.
(1)求證:平面
;
(2)側(cè)棱上是否存在點(diǎn)
,使得
平面
?若存在,指出點(diǎn)
的位置并證明,若不存在,請說明理由;
(3)求二面角的余弦值.
(1)見解析(2)見解析(3)
【解析】
試題分析:(1)由側(cè)面底面
,PA⊥AD及面面垂直性質(zhì)定理得,PA⊥面ABCD,由線面垂直定義可得PA⊥CD,通過計(jì)算可證CD⊥AC,根據(jù)線面垂直判定定理可得CD⊥面PAC;(2)若E是PA中點(diǎn),F(xiàn)是CD中點(diǎn),連結(jié)BE,EF,CF,由三角形中位線定理及平行公理可證四邊形BEFC為平行四邊形,則BE∥CF,根據(jù)線面平行的判定定理可得;(3)以A為原點(diǎn),AB,AC,AP分別為
軸建立空間直角坐標(biāo)系,顯然
是平面PAD的法向量,求出PCD的法向量,求出這兩個(gè)法向量的夾角的余弦值,即可求出二面角A-PD—C的余弦值.
試題解析:(1)因?yàn)?,所以
.
又因?yàn)閭?cè)面底面
,且側(cè)面
底面
,
所以底面
.
而底面
,
所以.
在底面中,因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720475103062245/SYS201411172048026404372660_DA/SYS201411172048026404372660_DA.013.png">,
,
所以 , 所以
.
又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720475103062245/SYS201411172048026404372660_DA/SYS201411172048026404372660_DA.017.png">, 所以平面
. 4分
(2)在上存在中點(diǎn)
,使得
平面
,
證明如下:設(shè)的中點(diǎn)是
,
連結(jié),
,
,
則,且
.
由已知,
所以. 又
,
所以,且
,
所以四邊形為平行四邊形,所以
.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111720475103062245/SYS201411172048026404372660_DA/SYS201411172048026404372660_DA.039.png">平面,
平面
,
所以平面
. 8分
(3)由(1)知,PA⊥面ABCD,以A為原點(diǎn),AB,AC,AP分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系
,設(shè)AB=1,則P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,2,0),C(1,1,0),則
=(1,1,-1),
=(-1,1,0),
顯然平面
,所以
為平面
的一個(gè)法向量.
設(shè)面PCD的一個(gè)法向量=(
),則
=
=0且
=
=0,取
=1,則
=1,
=2,則
.
設(shè)二面角的大小為
,由圖可知,
為銳角,
所以
即二面角的余弦值為
. 12分
考點(diǎn):空間線面垂直、面面垂直判定與性質(zhì),空間線面平行的判定與性質(zhì),二面角計(jì)算
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)迎戰(zhàn)高考:1-2命題及其關(guān)系、充分條件與必要條件(解析版) 題型:選擇題
[2014·荷澤模擬]有以下命題:
①“若xy=1,則x,y互為倒數(shù)”的逆命題;
②“面積相等的三角形全等”的否命題;
③“若m≤1,則x2-2x+m=0有實(shí)數(shù)解”的逆否命題;
④“若A∩B=B,則A⊆B”的逆否命題.
其中真命題為( )
A.①② B.②③ C.④ D.①②③
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆黑龍江省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
下列式子中不能表示函數(shù)y=f(x)的是( ).
A.x=y(tǒng)2+1 B.y=2x2+1
C.x-2y=6 D.x=
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆黑龍江省高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
已知函數(shù),
,若有
,則b的取值范圍為( ).
A、[2-,2+
] B、(2-
,2+
)
C、[1,3] D、(1,3)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆黑龍江省高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
若是R上周期為5的奇函數(shù),且滿足
,則
( ).
A、 B、
C、
D、
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆黑龍江省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
設(shè)函數(shù)f(x)= (x>0)
觀察:f1(x)=f(x)=,f2(x)=f(f1(x))=
,f3(x)=f(f2(x))=
,
f4(x)=f(f3(x))=, 根據(jù)以上事實(shí),由歸納推理可得:
當(dāng)n∈N*且n≥2時(shí),fn(x)=f(fn-1(x))=________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆黑龍江省高二下學(xué)期期末考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
如圖,在一個(gè)長為π,寬為2的矩形OABC內(nèi),曲線y=sin x(0≤x≤π)與x軸圍成如圖所示的陰影部分,向矩形OABC內(nèi)隨機(jī)投一點(diǎn)(該點(diǎn)落在矩形OABC內(nèi)任何一點(diǎn)是等可能的),則所投的點(diǎn)落在陰影部分的概率是( )
A. B.
C.
D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆黑龍江省高二下學(xué)期期末考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
已知邊長分別為a、b、c的三角形ABC面積為S,內(nèi)切圓O半徑為r,連接OA、OB、OC,則三角形OAB、OBC、OAC的面積分別為、
、
,由
得
,類比得四面體的體積為V,四個(gè)面的面積分別為
,則內(nèi)切球的半徑R=_________________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2015屆黑龍江省高二下學(xué)期期末文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:解答題
若等邊的邊長為
,平面內(nèi)一點(diǎn)
滿足
,求
.
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