Question

已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)F₁（-3，0），且與圓O：（x-3）²+y²=100相內(nèi)切，
（1）求動(dòng)圓的圓心的軌跡曲線C．
（2）若P是C上的一點(diǎn)，F(xiàn)₂為圓O的圓心且∠F₁PF₂=60°，求△F₁PF₂的面積．

Answer 1

分析：（1）設(shè)切點(diǎn)為N，動(dòng)圓與圓O內(nèi)切，則F₂，M，N三點(diǎn)共線，且|MF₁|=|MN|，所以M到定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值10＞|F₁F₂|=6，由此能求出M的軌跡方程．
（2）設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，則r₁+r₂=2a=10⇒r₁²+2r₁r₂+r²=100．在△PF₁F₂中，由勾股定理得r₁²+r₂³-r₁r₂=4c²=36，由此能求出△F₁PF₂的面積．

解答：解：（1）設(shè)切點(diǎn)為N，動(dòng)圓與圓O內(nèi)切，
則F₂，M，N三點(diǎn)共線，且|MF₁|=|MN|
∴|MF₁|+|MF₂|=|MF₁|+|MF₂|=|NF₂|
即M到定點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂的距離之和為定值10＞|F₁F₂|=6
故M的軌跡是以F₁，F(xiàn)₂為焦點(diǎn)的橢圓
易知c=3，a=5，b=4
M的軌跡方程是

x2

25

+

y2

16

=1．
（2）設(shè)|PF₁|=r₁，|PF₂|=r₂，
則r₁+r₂=2a=10⇒r₁²+2r₁r₂+r²=100（1）
又在△PF₁F₂中，由勾股定理得r₁²+r₂²-r₁r₂=4c²=36（2）
（1）-（2）得r1r2=

64

3

∴S△F1PF2=

1

2

r1r2=

32

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查點(diǎn)的軌跡的求法和計(jì)算△F₁PF₂的面積．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意挖掘題設(shè)中的隱含條件，合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．