橢圓:
的左、右焦點(diǎn)分別是
,離心率為
,過
且垂直于
軸的直線被橢圓
截得的線段長為
。
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)點(diǎn)是橢圓
上除長軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn),連接
,設(shè)
的角平分線
交
的長軸于點(diǎn)
,求
的取值范圍;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下,過點(diǎn)作斜率為
的直線
,使
與橢圓
有且只有一個公共點(diǎn),設(shè)直線的
斜率分別為
。若
,試證明
為定值,并求出這個定值。
(Ⅰ) (Ⅱ)
(Ⅲ)
【解析】(Ⅰ)設(shè),過
且垂直于
軸的直線與橢圓相交,則其中的一個交點(diǎn)坐標(biāo)為
,由題意可得
解得
,
所以橢圓的方程為
(Ⅱ)由(Ⅰ)知則
由橢圓定義得
因為平分
,
所以
所以,
另解:由題意可知:=
,
=
,
設(shè)其中
,將向量坐標(biāo)代入并化簡得
,因為
,
所以,而
,所以
.
(Ⅲ)因為與橢圓
有且只有一個公共點(diǎn),則點(diǎn)
為切點(diǎn),設(shè)
.
設(shè)與
聯(lián)立得
,
由得
,
所以
另解:由題意可知,為橢圓的在
點(diǎn)處的切線,由導(dǎo)數(shù)法可求得,切線方程
,
所以,而
,代入
中得
為定值.
【考點(diǎn)定位】本題通過橢圓的離心率、焦點(diǎn)、弦長、定義等基本知識來考查運(yùn)算能力、推理論證能力。第一問較為簡單,通過三者的固有關(guān)系確定橢圓方程為
.第二問處理方式很多,可利用角平分線性質(zhì)定理尋找線段間的比例關(guān)系、可利用點(diǎn)
到直線
的距離相等來確定
的取值范圍,但要注意直線斜率不存在的情形的說明.第三問中的直線
的方程設(shè)法很多,也是決定運(yùn)算量大小的關(guān)鍵,如果設(shè)為
,則會出現(xiàn)
,其運(yùn)算強(qiáng)度較大,而設(shè)為
可通過
得到關(guān)系式
,大大簡化了運(yùn)算.
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