Question

已知偶函數(shù)滿足：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．

(Ⅰ)求表達(dá)式；

(Ⅱ)若直線與函數(shù)的圖像恰有兩個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

(Ⅲ)試討論當(dāng)實(shí)數(shù)滿足什么條件時(shí)，直線的圖像恰有個(gè)公共點(diǎn)，且這個(gè)公共點(diǎn)均勻分布在直線上．（不要求過程）

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ)．;(Ⅱ)．  (Ⅲ)．當(dāng)時(shí)，或

當(dāng)時(shí)，  此時(shí); 當(dāng)時(shí)，，或

當(dāng)時(shí)此時(shí)．

【解析】

試題分析：（1）由為偶函數(shù)，則有，又因?yàn)楫?dāng)，及，，所以當(dāng)時(shí)，，即可求出 ．當(dāng)時(shí)，同理可求出此時(shí)的．（2）畫出的大致圖像，由圖1易知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)與無交點(diǎn)，易得當(dāng)時(shí)恒成立，當(dāng)時(shí)，則有，即可求出．

當(dāng)，時(shí)，函數(shù)的圖像如圖2所示，此時(shí)直線的圖像若恰有個(gè)公共點(diǎn)，且這個(gè)公共點(diǎn)均勻分布在直線上，則易知時(shí)符合題意，設(shè)時(shí)由左到右的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，由函數(shù)的對(duì)稱性易知，，此時(shí)．其他情況同理即可求出．

                   圖1                              圖2

試題解析：（1）為偶函數(shù)，則有．

當(dāng)時(shí)，，即

當(dāng)時(shí)，，，即，故有

（2）如下圖，當(dāng)時(shí)，由圖像易知函數(shù)與恰有兩個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)與無交點(diǎn)．由，．

當(dāng)時(shí)，此時(shí)符合題意；

當(dāng)時(shí)，由，即，可得．由偶函數(shù)的對(duì)稱性可知時(shí)，與時(shí)的情況相同．

故綜上：

（3）當(dāng)時(shí)，或；

當(dāng)時(shí)，  此時(shí)；

當(dāng)時(shí)，，或；

當(dāng)時(shí)此時(shí)．

考點(diǎn)：1．函數(shù)的奇偶性 2．分段函數(shù)解析式的求解 3．二次函數(shù)的圖像．