Question

（2013•青浦區(qū)一模）正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的邊長(zhǎng)為1，它的6條對(duì)角線又圍成了一個(gè)正六邊形A₂B₂C₂D₂E₂F₂，如此繼續(xù)下去，則所有這些六邊形的面積和是

9 3

4

．

Answer 1

分析：由平面幾何的知識(shí)可得F₂A₂=

3

3

，即正六邊形AA₂B₂C₂D₂E₂F₂，與正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的相似比等于

3

3

，可得面積之比為(

3

3

)2=

1

3

，故正六邊形的面積構(gòu)成以

3 3

2

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，代入求和公式可得．

解答：解：由已知條件可得∠A₁F₁A₂=A₂A₁F₁=30°，∠A₁A₂F₁=120°，
所以△A₁A₂F₁是等腰三角形，可得A₁A₂=

3

3

，
同理在△F₁F₂E₁中可得F₂E₁=

3

3

，
故F₂A₁=A₁E₁-A₁A₂-F₂E₁=

3

3

，
即正六邊形AA₂B₂C₂D₂E₂F₂，與正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的相似比等于

3

3

，
故面積之比為(

3

3

)2=

1

3

，
可正六邊形A₁B₁C₁D₁E₁F₁的面積S₁=6×

1

2

×1×1×

3

2

=

3 3

2

，
如此繼續(xù)下去，正六邊形的面積構(gòu)成以

3 3

2

為首項(xiàng)，

1

3

為公比的等比數(shù)列，
故所有這些六邊形的面積和S=

3 3 2

1- 1 3

=

9 3

4

故答案為：

9 3

4

點(diǎn)評(píng)：本題考查無(wú)窮遞縮等比數(shù)列的所有項(xiàng)和的求解，涉及平面多邊形的面積的求解，屬基礎(chǔ)題．