Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3（a∈R）
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)f（x）的圖象在點（2，f）處切線的傾斜角為45°，且對于任意的t∈[1，2]，函數(shù)g(x)=x3+x2(f′(x)+

m

2

)在區(qū)間（t，3）上總不為單調(diào)函數(shù)，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）然后在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的區(qū)間為單調(diào)增區(qū)間，fˊ（x）＜0的區(qū)間為單調(diào)減區(qū)間．
（2）對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間得到若f（x）在[1，2]上不單調(diào)，只要極值點出現(xiàn)在這個區(qū)間就可以，得到對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，從而求m的取值范圍．

解答：解：（1）f/(x)=

a(1-x)

x

(x＞0)，
a＞0時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞增，在[1，+∞）單調(diào)遞減；
a＜0時，f（x）在（0，1]上單調(diào)遞減，在[1，+∞）單調(diào)遞增；
a=0時，f（x）不是單調(diào)函數(shù)．
（2）由f′（2）=1得a=-2，所以f（x）=-2lnx+2x-3，則g(x)=x3+(

m

2

+2)x2-2x，
故g′（x）=3x²+（m+4）x-2
因為g（x）在（t，3）上總不是單調(diào)函數(shù)，且g′（0）=-2，
∴

g′(t)＜0 g′(3)＞0

．
由題意知：對于任意的t∈[1，2]，g′（t）＜0恒成立，
綜上，

g′(1)＜0 g′(2)＜0 g′(3)＞0

?-

37

3

＜m＜-9．
m的取值范圍為：-

37

3

＜m＜-9．

點評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定函數(shù)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)fˊ（x）；（3）在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論．