Question

已知f（x）=-x²+2lnx
（1）求雙曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程；
（2）求函數(shù)g（x）=alnx-ax-f（x）（a∈R）的單調(diào)區(qū)間；
（3）對任意的x∈（0，1），證明：f（1-x）＜f（1+x）．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：計算題,證明題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求導(dǎo)f′（x）=-2x+2

1

x

；從而求出切線方程；
（2）化簡g（x）=alnx-ax+x²-2lnx的定義域為（0，+∞），再求導(dǎo)g′（x）=a

1

x

-a+2x-2

1

x

=

2x2-ax+a-2

x

=

(2x-(a-2))(x-1)

x

；從而分類討論導(dǎo)數(shù)的正負(fù)以確定函數(shù)的單調(diào)性；
（3）令y=f（1+x）-f（1-x）=-（x+1）²+2ln（x+1）+（1-x）²-2ln（1-x）=-4x+2ln

x+1

1-x

=-4x+2ln（-1+

2

1-x

）；再求導(dǎo)y′=-4+

4

(x+1)(1-x)

=

4x2

(x+1)(1-x)

＞0；從而由單調(diào)性證明．

解答： 解：（1）∵f（x）=-x²+2lnx，f′（x）=-2x+2

1

x

；
∴f（1）=-1，f′（1）=-2+2=0；
故雙曲線y=f（x）在點P（1，f（1））處的切線方程為
y=-1；
即y+1=0；
（2）g（x）=alnx-ax+x²-2lnx的定義域為（0，+∞），
g′（x）=a

1

x

-a+2x-2

1

x

=

2x2-ax+a-2

x

=

(2x-(a-2))(x-1)

x

；
①當(dāng)a-2=2，即a=4時，g′（x）≥0；
故g（x）在（0，+∞）上是增函數(shù)，
②當(dāng)a-2≤0，即a≤2時，2x-a+2＞0；
故當(dāng)x∈（0，1）時，g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（1，+∞）時，g′（x）＞0；
故g（x）在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，+∞）上是增函數(shù)，
③當(dāng)2＜a＜4時，0＜

a-2

2

＜1，
則當(dāng)x∈（

a-2

2

，1）時，g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，

a-2

2

）∪（1，+∞）時，g′（x）＞0；
故g（x）在（

a-2

2

，1）上是減函數(shù)，在（0，

a-2

2

），（1，+∞）上是增函數(shù)；
④當(dāng)a＞4時，

a-2

2

＞1，
當(dāng)x∈（1，

a-2

2

）時，g′（x）＜0，
當(dāng)x∈（0，1）∪（

a-2

2

，+∞）時，g′（x）＞0；
故g（x）在（1，

a-2

2

）上是減函數(shù)，在（0，1），（

a-2

2

，+∞）上是增函數(shù)；
（3）證明：令y=f（1+x）-f（1-x）=-（x+1）²+2ln（x+1）+（1-x）²-2ln（1-x）
=-4x+2ln

x+1

1-x

=-4x+2ln（-1+

2

1-x

）；
y′=-4+

4

(x+1)(1-x)

=

4x2

(x+1)(1-x)

＞0；
故y=f（1+x）-f（1-x）=-4x+2ln（-1+

2

1-x

）在（0，1）上是增函數(shù)，
故f（1+x）-f（1-x）＞f（1）-f（1）=0；
故f（1-x）＜f（1+x）．

點評：本題考查了導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用及導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用，同時考查了分類討論的思想應(yīng)用，屬于難題．