Question

直線l：3x+4y-12=0與橢圓相交于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的一點(diǎn)，若三角形PAB的面積為12，則滿足條件的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為

1. A.
   1個(gè)
2. B.
   2個(gè)
3. C.
   3個(gè)
4. D.
   4個(gè)

Answer 1

B
分析：由題意可得AB=5，則由三角形PAB的面積為12可得AB的距離 h=，作與AB平行的直線l，使l與橢圓相切，設(shè)直線l的方程為 ，把l的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)，由判別式等于0 解得 k值，從而得到直線l的方程，求出直線l與AB間的距離，將此距離和h作比較，從而得出結(jié)論．
解答：由已知可得A（4，0），B（0，3），AB=5，由12=AB•h，可得P到AB的距離 h=．
作與AB平行的直線l，使l與橢圓相切，設(shè)直線l的方程為 ，
把l的方程代入橢圓方程化簡(jiǎn)可得 x²-4kx+8k²-8=0，
由△=16k²-32（k²-1）=0
∴k=，或 k=-，
故直線l的方程為 ，或 ．
因?yàn)?img class='latex' src='http://thumb.zyjl.cn/pic5/latex/38783.png' /> 與AB的距離為 =＜，
與AB的距離為 =＞．故這樣的點(diǎn)P共有 2個(gè)，
故選 B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，兩平行線間的距離公式，得到與AB平行的且與橢圓相切的切線l 的方程的個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵．