Question

已知點(diǎn)及圓：.

（Ⅰ）若直線過(guò)點(diǎn)且與圓心的距離為1，求直線的方程；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線與圓交于、兩點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求以線段為直徑的圓的方程；

（Ⅲ）設(shè)直線與圓交于，兩點(diǎn)，是否存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦？若存在，求出實(shí)數(shù)的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）設(shè)直線的斜率為（存在）則方程為.

又圓C的圓心為，半徑，

由  ，  解得.

所以直線方程為，  即 .

當(dāng)的斜率不存在時(shí)，的方程為，經(jīng)驗(yàn)證也滿足條件.………………4分

（Ⅱ）由于，而弦心距，

所以.

所以為的中點(diǎn).

故以為直徑的圓的方程為.……………………………9分

（Ⅲ）把直線即．代入圓的方程，

消去，整理得

．

由于直線交圓于兩點(diǎn)，

故，

即，解得．     則實(shí)數(shù)的取值范圍是．

設(shè)符合條件的實(shí)數(shù)存在，

由于垂直平分弦，故圓心必在上．

所以的斜率，而，

所以．

由于，

故不存在實(shí)數(shù)，使得過(guò)點(diǎn)的直線垂直平分弦．

【解析】略