Question

若橢圓上存在一點(diǎn)與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成頂角為120°的等腰三角形，則橢圓的離心率為

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計(jì)算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：討論A為頂角，根據(jù)對(duì)稱性，橢圓上存在一點(diǎn)A是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)橢圓的對(duì)稱性可知|AF₁|=|AF₂|，根據(jù)△F₁AF₂是等腰三角形可推斷出短軸平分∠F₁AF₂，進(jìn)而求得頂角的半角，進(jìn)而根據(jù)sin60°=

|OF1|

|AF1|

=

c

a

（O為原點(diǎn)），求得橢圓的離心率，再由當(dāng)F₁為頂角時(shí)，根據(jù)橢圓的定義，結(jié)合解三角形的知識(shí)，即可得到離心率．

解答： 解：∵橢圓上存在一點(diǎn)A與橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁，F(xiàn)₂構(gòu)成頂角為120°的等腰三角形，
當(dāng)A為頂角時(shí)，則由橢圓的對(duì)稱性，可得A是短軸的一個(gè)端點(diǎn)，
∴|AF₁|=|AF₂|
又△F₁AF₂是等腰三角形，
∴短軸平分∠F₁AF₂
∴頂角的一半是

120°

2

=60°
∴sin60°=

|OF1|

|AF1|

=

c

a

（O為原點(diǎn)）
∴e=

c

a

=

3

2

．
當(dāng)F₁為頂角時(shí)，AF₁=F₁F₂=2c，AF₂=2•2csin60°=2

3

c，
由橢圓的定義可得AF₁+AF₂=2a，即為（

3

+1）c=a，
則e=

1

3 +1

=

3 -1

2

．
故答案為：

3

2

或

3 -1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的定義和性質(zhì)，主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)：離心率的求法，考查分類討論的思想方法，屬于中檔題．