Question

在△ABC中，已知

cosB

cosA

=

a

b

=

3

4

，c=10，P是△ABC的內(nèi)切圓上一點(diǎn)，則PA²+PB²+PC²的最大值為

 

．

Answer 1

分析：由

cosB

cosA

=

a

b

=

3

4

，結(jié)合正弦定理，我們易判斷三角形的形狀，進(jìn)而給出三角形的三邊長(zhǎng)，及三角形內(nèi)切圓半徑，以C為原點(diǎn)建立坐標(biāo)設(shè)后，構(gòu)造內(nèi)切圓方程，和PA²+PB²+PC²的表達(dá)式，結(jié)合P點(diǎn)位置范圍，即可得到結(jié)論．

解答：解：∵

cosB

cosA

=

a

b

=

3

4

=

sinA

sinB

∴sinA•cosA=sinB•cosB
 即sin2A=sin2B
由a≠b，故A≠B
∴2A+2B=π
即A+B=

π

2

∴C=

π

2

又∵c=10，
∴a=6，b=8，
則內(nèi)切圓半徑r=2，
以C為原點(diǎn)，CA，CB分別為X，Y軸正方向建立坐標(biāo)系，
則C（0，0），A（8，0），B（0，6）
設(shè)P（x，y），則（x-2）²+（y-2）²=4
PA²+PB²+PC²
=x²+y²+（x-8）²+y²+x²+（y-6）²
=3[（x-2）²+（y-2）²]-4x+76
=88-4x
當(dāng)x=0時(shí)，PA²+PB²+PC²取最大值為88
故答案：88

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)有正弦定理，三角形內(nèi)切圓求法，函數(shù)的最值，其中根據(jù)三角形形狀，構(gòu)造坐標(biāo)系，進(jìn)而將PA²+PB²+PC²的最大值轉(zhuǎn)化為函數(shù)最大值問(wèn)題，是解答的關(guān)鍵．