【題目】在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.

（1）求曲線的直角坐標(biāo)方程與直線的普通方程；

（2）直線與曲線交于兩點，記弦的中點為，點，求.

【答案】（1）曲線C的直角坐標(biāo)方程為，直線的普通方程為；（2）

【解析】

(1)由直角坐標(biāo)方程與極坐標(biāo)方程的互化，可直接寫出曲線的直角坐標(biāo)方程；由直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即可得到直線的普通方程；

(2)將直線的參數(shù)方程代入曲線的直角坐標(biāo)方程，得到關(guān)于的一元二次方程，利用韋達定理，以及弦長公式即可求解.

（1）由，，

從而有，即

直線的普通方程為

（2）易知點在直線上，

則直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），

將其代入曲線的直角坐標(biāo)方程可得，所以

所以

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【題目】設(shè)函數(shù) ①若，則的零點有_____個；②若的值域為，則實數(shù)的取值范圍是________．

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【題目】如圖,已知拋物線C頂點在坐標(biāo)原點，焦點F在Y軸的非負(fù)半軸上，點是拋物線上的一點.

（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程

（2）若點P,Q在拋物線C上,且拋物線C在點P,Q處的切線交于點S,記直線 MP,MQ的斜率分別為k1，k2,且滿足,當(dāng)P,Q在C上運動時，△PQS的面積是否為定值？若是，求出△PQS的面積；若不是，請說明理由.

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（1）依據(jù)數(shù)據(jù)的散點圖可以看出，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，請計算相關(guān)系數(shù)并加以說明（若，則線性相關(guān)程度很高，可用線性回歸模型擬合）；

（2）求關(guān)于的回歸方程，并預(yù)測液體肥料每畝使用量為千克時，西紅柿畝產(chǎn)量的增加量約為多少？

附：相關(guān)系數(shù)公式，回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計公式分別為：，.

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【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，，上頂點為，離心率為，且．

（Ⅰ）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（Ⅱ）已知為坐標(biāo)原點，過點的直線與橢圓交于，兩點，點在橢圓上，若，試判斷是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

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【題目】如圖，矩形為一張臺球桌面，，.從點擊出一個球，其可無限次經(jīng)臺球桌四邊反彈運行.已知該球經(jīng)過矩形的中心.

（1）試求所有整點 的個數(shù)，使得該球可以經(jīng)過點；

（2）若該球在上述、兩點間的最短路徑長為，求的最大值.

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【題目】每年3月21日是世界睡眠日，良好的睡眠狀況是保持身體健康的重要基礎(chǔ).為了做好今年的世界睡眠日宣傳工作，某社區(qū)從本轄區(qū)內(nèi)同一年齡層次的人員中抽取了100人，通過問詢的方式得到他們在一周內(nèi)的睡眠時間(單位：小時)，并繪制出如右的頻率分布直方圖：

(Ⅰ)求這100人睡眠時間的平均數(shù)(同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替，結(jié)果精確到個位)；

(Ⅱ)由直方圖可以認(rèn)為，人的睡眠時間近似服從正態(tài)分布，其中近似地等于樣本平均數(shù)，近似地等于樣本方差，.假設(shè)該轄區(qū)內(nèi)這一年齡層次共有10000人，試估計該人群中一周睡眠時間位于區(qū)間(39.2，50.8)的人數(shù).

附：.若隨機變量服從正態(tài)分布，則，.

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（2）求與平面所成角的正弦值.

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