已知雙曲線的兩條漸近線方程為直線l1：y=
3
x和l2：y=-
3
x，其焦點(diǎn)在x軸上，實(shí)軸長(zhǎng)為2．
（Ⅰ）求雙曲線的方程；
（Ⅱ）設(shè)直線l：y=kx+1與雙曲線相切于點(diǎn)M且與右準(zhǔn)線交于N，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，求證：∠MFN為直角．
（Ⅰ）由題意，設(shè)雙曲線方程為3x2-y2=λ(λ＞0)⇒
x2
λ
3
-
y2
λ
=1．
又2a=1，∴a=1，
∴
λ
3
=1，∴λ=3，
∴方程為x2-
y2
3
=1；
（Ⅱ）證明：由y=kx+1代入雙曲線方程，消去y得（3-k2）x2-2kx-4=0，
由
3-k2≠0
△=0
，可得
k2≠3
k2=4
，
∴k=±2，
當(dāng)k=2時(shí)得xM=-2，代入y=2x+1得yM=-3，
∴M（-2，-3），
由
y=2x+1
x=
1
2
⇒N(
1
2
，2)，
∴F(2，0)⇒
FM
=(-4，-3)，
FN
=(-
3
2
，2)⇒
FM
•
FN
=6-6=0⇒
FM
⊥
FN
；
當(dāng)k=-2時(shí)同理得M(2，-3)，N(
1
2
，0)，F(2，0)⇒
FM
=(0，-3)，
FN
=(-
3
2
，0)⇒
FM
•
FN
=0⇒
FM
⊥
FN
，
綜上：∠MFN為直角．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

雙曲線x2-2y2=8的虛半軸長(zhǎng)為（　�。�
A．4B．-2C．2D．3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1的左右焦點(diǎn)分別為F1、F2，過(guò)F1的直線與雙曲線左右兩支分別交于A、B兩點(diǎn)，若△ABF2是等邊三角形，則雙曲線C的離心率為______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：填空題

已知雙曲線
x2
m
-
y2
7
=1，直線L過(guò)其左焦點(diǎn)F1，交雙曲線左支于A、B兩點(diǎn)，且|AB|=4，F(xiàn)2為右焦點(diǎn)，△ABF2的周長(zhǎng)為20，則m=______．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

已知雙曲線C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的離心率為
5
2
，則C的漸近線方程為（　　）
A．y=±
1
4
x		B．y=±
1
3
x		C．y=±xD．y=±
1
2
x

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

設(shè)F1，F(xiàn)2是雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1(a＞0，b＞0)的左，右焦點(diǎn)，若雙曲線的右支上存在一點(diǎn)P，使
PF1
•
PF2
=0，且△F1PF2的三邊長(zhǎng)構(gòu)成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為（　�。�
A．
2
B．
3
C．2D．5

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

設(shè)雙曲線的頂點(diǎn)為（0，±1），該雙曲線又與直線
15
x-3y+6=0交于A，B兩點(diǎn)，且OA⊥OB（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）．
（1）求此雙曲線的方程；
（2）求|AB|

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：單選題

過(guò)雙曲線
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）上任意一點(diǎn)P，作與實(shí)軸平行的直線，交兩漸近線于M、N兩點(diǎn)，若
PM
•
PN
=2b2，則該雙曲線的離心率為（　�。�
A．
6
3
B．
3
C．
6
2
D．
2

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源：不詳 題型：解答題

已知雙曲線與橢圓
x2
25
+
y2
9
=1的焦點(diǎn)相同，且它們的離心率之和等于
14
5
．
（1）求雙曲線的離心率的值；
（2）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程．

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同步練習(xí)冊(cè)答案