Question

當(dāng)p₁，p₂，…，p_n均為正數(shù)時(shí)，稱為p₁，p₂，…，p_n的“均倒數(shù)”．已知數(shù)列{a_n}的各項(xiàng)均為正數(shù)，且其前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)（n∈N^*），試比較c_n+1與c_n的大小；
（3）設(shè)函數(shù)，是否存在最大的實(shí)數(shù)λ，使當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有f（x）≤0恒成立？

Answer 1

解：（1）a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），a₁+a₂+…+a_n-1=（n-1）（2n-1），兩式相減，得a_n=4n-1（n≥2）．
又，解得 a₁=3=4×1-1，
∴…（4分）
（2）∵，，
∴，即c_n+1＞c_n．…（8分）
（3）由（2）知數(shù)列 {c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，c₁=1是其最小項(xiàng)，即c_n≥c₁=1．…（9分）
假設(shè)存在最大實(shí)數(shù)，使當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有恒成立，…（11分）
則（n∈N^*）．
只需-x²+4x≤c₁=1，即x²-4x+1≥0，解之得或 ．
于是，可取…（14分）
分析：（1）利用a₁+a₂+…+a_n-1+a_n=n（2n+1），再寫一式，兩式相減，即可得到數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）利用作差法，即可得到c_n+1與c_n的大小；
（3）由（2）知數(shù)列 {c_n}是單調(diào)遞增數(shù)列，c₁=1是其的最小項(xiàng)．假設(shè)存在最大實(shí)數(shù)，使當(dāng)x≤λ時(shí)，對(duì)于一切正整數(shù)n，都有恒成立，即（n∈N^*），利用右邊的最小值，建立不等式，即可得到結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查大小比較，考查解不等式，確定數(shù)列的通項(xiàng)與單調(diào)性是關(guān)鍵．