Question

我們把數(shù)列{a_n^k}叫做數(shù)列{a_n}的k方數(shù)列（其中a_n＞0，k，n是正整數(shù)），S（k，n）表示k方數(shù)列的前n項(xiàng)和．
（Ⅰ）試比較S（1，2）•S（3，2）與[S（2，2）]²的大��；
（Ⅱ）若數(shù)列{a_n}滿足：[S（1，n）]²=S（3，n），求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)題中的新定義分別表示出S（1，2），S（3，2）與S（2，2），進(jìn)而表示出S（1，2）•S（3，2）與[S（2，2）]²的差，根據(jù)a_n＞0，判斷差為非負(fù)數(shù)，即可比較出所求兩式的大小；
（Ⅱ）根據(jù)原題的新定義分別表示出S（1，n）及S（3，n），代入已知的等式，再利用等差數(shù)列的求和公式化簡(jiǎn)等式左邊的底數(shù)，得到S_n²=a₁³+a₂³+…+a_n³，當(dāng)n大于等于2時(shí)，得到S_n-1²=a₁³+a₂³+…+a_n-1³，兩式相減后，左邊利用平方差公式分解因式，再根據(jù)S_n-S_n-1=a_n進(jìn)行變形，求出S_n+S_n-1的值，進(jìn)而當(dāng)n大于等于3時(shí)，兩式相減，再根據(jù)S_n-S_n-1=a_n進(jìn)形變形，進(jìn)而求出a_n-a_n-1的值及a₁的值，確定出數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，根據(jù)確定出的公差及首項(xiàng)寫(xiě)出通項(xiàng)公式即可．

解答：解：（Ⅰ）依條件知：
S（1，2）=a₁+a₂，S（3，2）=a₁³+a₂³，S（2，2）=a₁²+a₂²．（3分）
∴S（1，2）•S（3，2）-[S（2，2）]²
=（a₁+a₂）（a₁³+a₂³）-（a₁²+a₂²）²
=a₁a₂³+a₂a₁³-2a₁²a₂²
=a₁a₂（a₁-a₂）²，
∵a_n＞0，
∴S（1，2）•S（3，2）≥[S（2，2）]²；（6分）
（Ⅱ）由[S（1，n）]²=S（3，n）得：
（a₁+a₂+…+a_n）²=a₁³+a₂³+…+a_n³．n∈N^*．（7分）

S 2 n = a 3 1 + a 3 2 +…+ a 3 n S 2 n-1 = a 3 1 +…+ a 3 n-1 ，n≥2

⇒(Sn+Sn-1)•an=

a

3 n

，n≥2．又a_n＞0．
∴S_n+S_n-1=a_n²，n≥2．
則S_n-1+S_n-2=a_n-1²，n≥3，
將兩式相減得：a_n+a_n-1=a_n²-a_n-1²，n≥3，又a_n+a_n-1＞0，
∴a_n-a_n-1=1，n≥3．（11分）又a₁²=a₁³且a₁≠0，
∴a₁=1．（a₂+1）²=a₂³+1且a₂＞0，
∴a₂=2，即a₂-a₁=1．
∴n≥2時(shí)均有a_n-a_n-1=1．
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列．
故a_n=1+（n-1）×1=n．（13分）

點(diǎn)評(píng)：此題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及求和公式，以及數(shù)列的函數(shù)特征，屬于新定義型題，解答此類(lèi)題要求學(xué)生認(rèn)真審題，弄清題中的新定義，進(jìn)而利用等差數(shù)列的性質(zhì)、求和公式及遞推公式S_n-S_n-1=a_n進(jìn)行變形來(lái)解決問(wèn)題．