Question

在平面三角形中，若ABC的三邊長(zhǎng)為a，b，c，其內(nèi)切圓半徑為r，有結(jié)論：ABC的面積S=

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2

（a+b+c）r，類比該結(jié)論，則在空間四面體ABCD中，若四個(gè)面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，其內(nèi)切球半徑為R，則有相應(yīng)結(jié)論：

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：類比推理

專題：推理和證明

分析：先用面積分割法，證明平面內(nèi)的結(jié)論正確．然后將該命題推廣到空間：若四面體四個(gè)面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，內(nèi)切球的半徑為R，則此四面體的體積為：V=

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3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．接下來(lái)可以用體積分割的方法，類似地證明推廣到空間的結(jié)論也是正確的．

解答： 解：先證明平面內(nèi)的結(jié)論正確．
設(shè)△ABC的內(nèi)切圓圓心為I，圓I與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，
連接ID、IE、IF，
∵ID與圓I相切于點(diǎn)D，
∴ID⊥BC，可得三角形IBC的面積為S_△IBC=

1

2

BC•ID=

1

2

ar（其中r是△ABC的內(nèi)切圓半徑），
同理可得：S_△IAC=

1

2

AC•IE=

1

2

br，S_△IAB=

1

2

AB•IF=

1

2

cr，
∴三角形ABC的面積為S=S_△IBC+S_△IAC+S_△IAB=

1

2

ar+

1

2

br+

1

2

cr=

1

2

（a+b+c）r，
根據(jù)此結(jié)論，將其類比到空間可得：
若四面體四個(gè)面的面積分別為S₁，S₂，S₃，S₄，內(nèi)切球的半徑為R，則此四面體的體積為V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
證明如下：

設(shè)四面體ABCD的內(nèi)切球?yàn)榍騉，球O分別切面BCD、面ACD、面ABD、面ABC于E、F、G、H，
分別設(shè)S_△BCD、S_△ACD、S_△ABD、S_△ABC為S₁、S₂、S₃、S₄
∵球O切平面BCD于點(diǎn)E，
∴OE⊥平面BCD，三棱錐O-BCD的體積為V₁=

1

3

S_△BCD•OE=

1

3

S₁R，
同理可得：三棱錐O-BCD的體積為V₂=

1

3

S_△ACD•OF=

1

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S₂R，三棱錐O-ABD的體積為V₃=

1

3

S_△ABD•OG=

1

3

S₃R，
三棱錐O-ABC的體積為V₄=

1

3

S_△ABC•OH=

1

3

S₄R，
∴四面體ABCD的體積等于V=V₁+V₂+V₃+V₄=

1

3

S₁R+

1

3

S₂R+

1

3

S₃R+

1

3

S₄R=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．
故答案為：V=

1

3

（S₁+S₂+S₃+S₄）R．

點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)平面內(nèi)關(guān)于內(nèi)切圓半徑的正確命題，通過(guò)將其推廣到空間的一個(gè)結(jié)論，考查了三角形面積公式和錐體體積公式等知識(shí)點(diǎn)，以及用割補(bǔ)的方法求幾何體體積的思想，屬于中檔題．