（理）如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD
（1）問BC邊上是否存在Q點，使
PQ
⊥
QD
，說明理由．
（2）問當(dāng)Q點惟一，且cos＜
BP
，
QD
＞=
10
10
時，求點P的位置．
分析：（1）建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一xyz，設(shè)P，D，Q的坐標(biāo)，求得向量坐標(biāo)，利用
PQ
⊥
QD
，可方程，利用判別式，即可得到結(jié)論；
（2）當(dāng)Q點惟一時，由5題知，a=2，y=1，利用cos＜
BP
，
QD
＞=
10
10
，建立方程，即可求點P的位置．
解答：（理）解：（1）如答圖9-6-2所示，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)一xyz，設(shè)P（0，0，z），D（0，a，0），Q（1，y，0），

則
PQ
=（1，y，-z），
QD
=（-1，a-y，0），且
PQ
⊥
QD
，
∴
PQ
•
QD
=-1+y（a-y）=0
∴y2-ay+1=0．
∴△=a2-4．
當(dāng)a＞2時，△＞0，存在兩個符合條件的Q點；
當(dāng)a=2時，△=0，存在惟一一個符合條件的Q點；
當(dāng)a＜2時，△＜0，不存在符合條件的Q點．
（2）當(dāng)Q點惟一時，由題知，a=2，y=1．
∴B（1，0，0），
BP
=（-1，0，z），
QD
=（-1，1，0）．
∴cos＜
BP
，
QD
＞=
BP
•
QD
|
BP
||
QD
=
1
1+z2
×
2
=
10
10
．
∴z=2．即P在距A點2個單位處．
點評：本題考查向量在幾何中的運用，解題的關(guān)鍵是建立坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)表示點與向量，屬于中檔題．
練習(xí)冊系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)（理）如圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥面ABCD且|PA|=1
（1）BC邊上是否存在點Q，使得FQ⊥QD，并說明理由；
（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得FQ⊥QD，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面PDQ所成的角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，求二面角Q-PD-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（08年惠州一中模擬理）如圖，矩形ABCD中，AB=，BC=，橢圓M的中心和準(zhǔn)線分別是已知矩形的中心和一組對邊所在直線，矩形的另一組對邊間的距離為橢圓的短軸長，橢圓M的離心率大于0.7.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：解答題

（理）如圖，矩形ABCD，|AB|=1，|BC|=a，PA⊥面ABCD且|PA|=1
（1）BC邊上是否存在點Q，使得FQ⊥QD，并說明理由；
（2）若BC邊上存在唯一的點Q使得FQ⊥QD，指出點Q的位置，并求出此時AD與平面PDQ所成的角的正弦值；
（3）在（2）的條件下，求二面角Q-PD-A的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2011-2012學(xué)年高三一輪復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)單元驗收試卷（向量）（解析版） 題型：解答題

（理）如圖，矩形ABCD中，AB=1，BC=a，PA⊥平面ABCD
（1）問BC邊上是否存在Q點，使⊥，說明理由．
（2）問當(dāng)Q點惟一，且cos＜，＞=時，求點P的位置．

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