【題目】如圖,在三棱錐PABC中,ACBC,AB2BC,D為線段AB上一點(diǎn),且AD3DB,PD⊥平面ABC,PA與平面ABC所成的角為45°

1)求證:平面PAB⊥平面PCD;

2)求二面角PACD的平面角的余弦值.

【答案】(1)證明見解析;(2)

【解析】

1)推導(dǎo)出ACBCCDAD,PDCD,從而CD⊥平面PAB,由此能證明平面PAB⊥平面PCD
2)以D為坐標(biāo)原點(diǎn),分別以DC,DB,DP所在直線為xy,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角P-AC-D的平面角的余弦值.

1)證明:ACBC,AB2BC,

,

AB2AC2+BC2,ACBC,

RtABC中,由ACBC,得CAB30°

設(shè)BD1,由AD3BD,得AD3,BC2AC2,

ACD中,由余弦定理得CD2AD2+AC22ADACcos30°3,

CD,

CD2+AD2AC2,CDAD,

PD平面ABC,CD 平面ABC,

PDCD,

PDADDCD平面PAB,

CD 平面PCD,平面PAB平面PCD

2)解:PD平面ABC,

PA與平面ABC所成角為PAD,即PAD45°,

∴△PAD為等腰直角三角形,PDAD,

由(1)得PDAD3,以D為坐標(biāo)原點(diǎn),

分別以DC,DBDP所在直線為x,yz軸,建立空間直角坐標(biāo)系,

D0,00),C0,0),A0,﹣3,0),P0,0,3),

=(0,﹣3,﹣3),=(),

=(0,0,3)是平面ACD的一個(gè)法向量,

設(shè)平面PAC的一個(gè)法向量=(x,yz),

,取x,得=(,﹣1,1),

設(shè)二面角PACD的平面角為θ,

cosθ

二面角PACD的平面角的余弦值為

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