Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5．
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若曲線y=f（x）與y=2x+m有三個不同的交點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

（Ⅰ）∵函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5，
∴f'（x）=x²-3x+2，
令f'（x）=0，解得x=1或x=2，
∴當x＜1或x＞2時，f'（x）＞0，當1＜x＜2時，f'（x）＜0，
∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為（-∞，1），（2，+∞），單調(diào)遞增區(qū)間為（1，2）；
（Ⅱ）令f（x）=2x+m，即

1

3

x3-

3

2

x2+2x+5=2x+m，
∴

1

3

x3-

3

2

x2+5=m，
設g（x）=

1

3

x3-

3

2

x2+5，
∵曲線y=f（x）與y=2x+m有三個不同的交點，
∴函數(shù)y=g（x）與y=m有三個不同的交點，
令g'（x）=0，解得x=0或x=3，
當x＜0或x＞3時，g'（x）＞0，
當0＜x＜3時，g'（x）＜0，
∴g（x）在（-∞，0），（3，+∞）單調(diào)遞增，在（0，3）單調(diào)遞減，
∵g(0)=5，g(3)=

1

2

，畫出函數(shù)g（x）的大值圖象如右圖，
∴實數(shù)m的取值范圍為

1

2

＜m＜5．