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設函數f(x)=lg(ax2+2x+1).
(1)若f(x)的定義域是R,求實數a的取值范圍;
(2)若f(x)的值域是R,求實數a的取值范圍.

解:(1)若f(x)=lg(ax2+2x+1)的定義域是R,∴u=ax2+2x+1>0恒成立.
當 a=0或a<0不合題意,∴,解得 a>1,故實數a的取值范圍是(1,+∞).
(2)若f(x)的值域是R,則函數 u=ax2+2x+1能夠取遍所有的正數.
當a<0時不合題意;a=0時,u=2x+1,u能取遍一切正實數.
a>0時,由其判別式△=22-4×a×1≥0,解得0<a≤1.
綜上可得,當0≤a≤1時f(x)的值域是R.
分析:(1)由題意可得 u=ax2+2x+1>0恒成立,可得 ,解得 a>1,由此求得實數a的取值范圍.
(2)若f(x)的值域是R,則函數 u=ax2+2x+1能夠取遍所有的正數,分a<0、a=0、a>0三種情況,分別求得實數a的取值范圍,再取并集,即得所求.
點評:本題主要考查函數的定義和值域,函數的恒成立問題,體現了分類討論的數學思想,屬于基礎題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=
lg|x|,(x<0)
2x-1,(x≥0)
,若f(x0)>0則x0取值范圍是(  )
A、(-∞,-1)∪(1,+∞)
B、(-∞,-1)∪(0,+∞)
C、(-1,0)∪(0,1)
D、(-1,0)∪(0,+∞)

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=lg(x2+ax-a-1),給出下述命題:①f(x)有最小值;②當a=0時,f(x)的值域為R;③若f(x)在區(qū)間[2,+∞)上單調遞增,則實數a的取值范圍是a≥-4.則其中正確的命題的序號是
 

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科目:高中數學 來源: 題型:

24、關于x的不等式lg(|x+3|-|x-7|)<m.
(Ⅰ)當m=1時,解此不等式;
(Ⅱ)設函數f(x)=lg(|x+3|-|x-7|),當m為何值時,f(x)<m恒成立?

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科目:高中數學 來源: 題型:

設函數f(x)=lg(x2+ax-a),若f(x)的值域為R,則a的取值范圍是
(-∞,-4]∪[0+∞)
(-∞,-4]∪[0+∞)

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科目:高中數學 來源: 題型:

現有下列命題:
①設a,b為正實數,若a2-b2=1,則a-b<1;
②△ABC若acosA=bcosB,則△ABC是等腰三角形;
③數列{n(n+4)(
2
3
n中的最大項是第4項;
④設函數f(x)=
lg|x-1|,x≠1
0,x=1
則關于x的方程f2(x)+2f(x)=0有4個解;
⑤若sinx+siny=
1
3
,則siny-cos2x的最大值是
4
3

其中的真命題有
①③
①③
.(寫出所有真命題的編號).

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