已知f(x)=x2-2(n+1)x+n2+5n-7(n∈N*),
(1)設(shè)f(x)的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列{an},求證:{an}為等差數(shù)列.
(2)設(shè)f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成{bn},求{bn}的前n項(xiàng)和.
分析:(1)要證明數(shù)列{an}為等差數(shù)列.我們可以根據(jù)二次函數(shù)頂點(diǎn)的坐標(biāo)公式,求出其頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的表達(dá)式,再根據(jù)判斷等差數(shù)列的方法進(jìn)行判斷;
(2)由于f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離等于頂點(diǎn)縱坐標(biāo)的絕對值,結(jié)合(1)的結(jié)論,我們易得{bn}從第二項(xiàng)開始是一個(gè)等差數(shù)列,根據(jù)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,易得結(jié)論.
解答:(1)證明:∵f(x)=x
2-2(n+1)x+n
2+5n-7(n∈N
*),
f(x)的圖象的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為
=3n-8
即a
n=3n-8(n∈N
*),
故{a
n}為一個(gè)以-5為首項(xiàng),以3為公差的等差數(shù)列
(2)解:由(1)及f(x)的圖象的頂點(diǎn)到x軸的距離構(gòu)成{b
n},
則b
n=|a
n|=|3n-8|
當(dāng)n=1或n=2時(shí)3n-8<0,b
n=|3n-8|=8-3n b
1=5 b
2=2
n≥3時(shí)3n-8>0 b
n=|3n-8|=3n-8
Sn=b
1+b
2+b
3+…+b
n =5+2+(3×3-8)+(3×4-8)…+(3n-8)
=7+3×(3+4+5+…+n)-8(n-2)
=7+
-8(n-2)
=7+
=7+
.
∴S
n=7+
.
點(diǎn)評:要判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差(比)數(shù)列,我們常用如下幾種辦法:①定義法,判斷數(shù)列連續(xù)兩項(xiàng)之間的差(比)是否為定值;②等差(比)中項(xiàng)法,判斷是否每一項(xiàng)都是其前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等差(比)中項(xiàng);③通項(xiàng)公式法,判斷其通項(xiàng)公式是否為一次(指數(shù))型函數(shù);④前n項(xiàng)和公式法.