解:(1)a
1=1,S
2+S
1=ta
22+2得a
2=0(舍去)或

,
又S
n+Sn-1=ta
n2+2 (1)
S
n-1+S
n-2=ta
n-12+2(n≥3)(2)
(1)-(2)得a
n+a
n-1=t(a
n2-a
n-12)(n≥3),
因為數(shù)列{a
n}為正項數(shù)列,∴

,
即數(shù)列{a
n}從第二項開始是公差為

的等差數(shù)列.∴

----7 分
(2)當(dāng)n=時T
1=t<2;
n≥2時,T
n=

=

要使T
n<2對所有n∈N
*恒成立,只

≤2成立,
故0t≤1得證----(14分)
分析:(1)將n=2代入已知等式,求出a
2,仿寫另一個等式,兩個式子相減得到數(shù)列的項的遞推關(guān)系,利用等差數(shù)列的定義及等差數(shù)列的通項公式求得.
(2)根據(jù)第(1)問題結(jié)論利用裂項的方法即可求的不等式左邊當(dāng)n≥2時的前n項和,進而問題轉(zhuǎn)化為t
2(1-

)<2對于n≥2,n∈N
*恒成立,再結(jié)合放縮法即可獲得問題的解答.
點評:本題考查的是數(shù)列與不等式的綜合類問題.在解答的過程當(dāng)中充分體現(xiàn)了通項與前n項和的關(guān)系、等差數(shù)列的知識、分類討論的思想以及恒成立的思想和問題轉(zhuǎn)化的能力.值得同學(xué)們體會反思.