Question

如圖2-1-21,ABCD—A₁B₁C₁D₁是正方體,在圖(1)中E、F分別是D₁C₁、B₁B的中點(diǎn),畫出圖(1)(2)中有陰影的平面與平面ABCD的交線,并給出證明.

                                            圖2-1-21

Answer 1

思路分析:在圖2-1-21(1)中過(guò)點(diǎn)E作EN平行于BB₁交CD于點(diǎn)N,連結(jié)NB并延長(zhǎng)交EF的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連結(jié)AM,則AM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.

在圖2-1-21(2)中,延長(zhǎng)DC,過(guò)點(diǎn)C₁作C₁M∥A₁B交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,連結(jié)BM,則BM即為有陰影的平面與平面ABCD的交線.

                                  圖2-1-22

證明:在圖2-1-22(3)中,因?yàn)橹本�EN∥BF,

所以BNEF四點(diǎn)共面.

因此EF與BN相交,交點(diǎn)為M.

因?yàn)镸∈EF,且M∈NB,而EF平面AEF,NB平面ABCD,

所以M是平面ABCD與平面AEF的公共點(diǎn).

又因?yàn)辄c(diǎn)A是平面AEF和平面ABCD的公共點(diǎn),故AM為兩平面的交線.

在圖2-1-22(4)中,C₁M在平面CDD₁C₁內(nèi),因此與DC的延長(zhǎng)線相交,交點(diǎn)為M,則點(diǎn)M為平面A₁C₁B與平面ABCD的公共點(diǎn),又點(diǎn)B是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn),因此直線BM是兩平面的交線.

  綠色通道:作截面時(shí),要注意截面的完整性,應(yīng)畫出截面圖與所給幾何體各個(gè)面的交線.確定兩個(gè)平面的交線,就是找兩個(gè)平面的兩個(gè)公共點(diǎn),一般題目都會(huì)給出一個(gè)公共點(diǎn),在確定另一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)通常利用分別在已知的兩個(gè)平面內(nèi)的兩條直線的交點(diǎn)來(lái)確定.