Question

在平面直角坐標系中，已知拋物線y²=2px（p＞0），過定點A（p，0）作直線交該拋物線于M、N兩點．
（I）求弦長|MN|的最小值；
（II）是否存在平行于y軸的直線l，使得l被以AM為直徑的圓所截得的弦長為定值？若存在，求出l的方程；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（I）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），直線MN：x=my+p，當m=0時，|MN|=2

2

p；當m≠0時，聯(lián)立y²=2px與x=my+p，得y²-2mpy-2p²=0?

y1+y2=2mp y1y2=-2p2

?|MN|=2p

(m2+1)(m2+2)

＞2

2

p．由此能求出弦長|MN|的最小值．
（II）設存在平行于y軸的直線l，方程為x=t，M（x₁，y₁），圓心為C（x₀，y₀），l被圓C截得的弦長為q，則由圓的幾何性質(zhì)可得q=2

( |MA| 2 )2-(x0-t)2

=2

(x1-p)2+ y 2 1 4 -( x1+p 2 -t)2

=2

(t- p 2 )x1+pt-t2

．由此能求出存在直線l，其方程為x=

p

2

．

解答：解：（I）設M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
直線MN：x=my+p
①當m=0時，|MN|=2

2

p
②當m≠0時，聯(lián)立y²=2px與x=my+p
得y²-2mpy-2p²=0?

y1+y2=2mp y1y2=-2p2

?|MN|=2p

(m2+1)(m2+2)

＞2

2

p
比較①②知|MN|min=2

2

p（6分）
（II）設存在平行于y軸的直線l，方程為x=t，M（x₁，y₁），圓心為C（x₀，y₀）
l被圓C截得的弦長為q，則由圓的幾何性質(zhì)可得：
q=2

( |MA| 2 )2-(x0-t)2

=2

(x1-p)2+ y 2 1 4 -( x1+p 2 -t)2

=2

(t- p 2 )x1+pt-t2

當t=

p

2

時，q=p為定值
故存在這樣的直線l，其方程為x=

p

2

（12分）

點評：本題考查弦長的計算和直線與拋物線位置關(guān)系的綜合運用，解題時要注意分類討論思想和弦長公式的合理運用，注意合理地進行等價轉(zhuǎn)化．