Question

設(shè)函數(shù)f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12．
（1）求a，b的值；
（2）當(dāng)x∈[1，2]時(shí)，求f（x）最大值．

Answer 1

解：∵函數(shù)f（x）=log₂（a^x-b^x），且f（1）=1，f（2）=log₂12
∴
∴
∴
（2）由（1）得
令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x
令t=2^x，則y=t²-t
∵x∈[1，2]，
∴t∈[2，4]，
顯然函數(shù)y=（t-）²-在[2，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，
所以當(dāng)t=4時(shí)，取得最大值12，
∴x=2時(shí)，f（x）最大值為log₂12=2+log₂3
分析：（1）由已知f（1）=1，f（2）=log₂12代入到f（x）中，求得a、b的值即可；
（2）利用換元法，由（1）得，令g（x）=4^x-2^x=（2^x）²-2^x，再令t=2^x，則y=t²-t，可知函數(shù)y=（t-）²-在[2，4]上是單調(diào)遞增函數(shù)，從而當(dāng)t=4時(shí)，取得最大值12，故x=2時(shí)，f（x）取得最大值．
點(diǎn)評(píng)：本題以對(duì)數(shù)函數(shù)為載體，考查學(xué)生利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的能力，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，屬于基礎(chǔ)題．