Question

已知數(shù)列{b_n}中，b1=

11

7

，b_n+1b_n=b_n+2．?dāng)?shù)列{a_n}滿足：an=

1

bn-2

(n∈N*)
（Ⅰ）求證：a_n+1+2a_n+1=0；
（Ⅱ） 求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅲ） 求證：（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1（n∈N^*）

Answer 1

分析：（Ⅰ） 由已知，得出an+1=

1

bn+1-2

=

1

bn+2 bn -2

=

bn

2-bn

= -1+

2

2-bn

=-2an-1，移向整理即可．
（Ⅱ）在（Ⅰ） 的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出an+1+

1

3

=-2  (an+

1

3

)，通過(guò)求出{an+

1

3

}的通項(xiàng)公式，得出{a_n}的通項(xiàng)公式．
（Ⅲ）由上應(yīng)得出(-1)nbn=2•(-1)n+

1

2n- 1 3 •(-1)n

，考慮到（-1）ⁿ的取值，宜相鄰兩項(xiàng)結(jié)合，借助放縮法尋求解決．

解答：證明：（Ⅰ）an+1=

1

bn+1-2

=

1

bn+2 bn -2

=

bn

2-bn

= -1+

2

2-bn

=-2an-1，移向整理得a_n+1+2a_n+1=0
解：（Ⅱ）∵a_n+1=-2a_n-1∴an+1+

1

3

=-2  (an+

1

3

)
又 a1+

1

3

=-2 ≠0∴{an+

1

3

}為等比數(shù)列
∴an+

1

3

=(-2)n∴an=(-2)n-

1

3

證明：（Ⅲ）bn=

1

an

+2=

1

(-2)n- 1 3

+2∴(-1)nbn=2•(-1)n+

1

2n- 1 3 •(-1)n

①當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)（-1）ⁿb_n+（-1）ⁿ⁺¹b_n+1=

1

2n+ 1 3

+

1

2n+1- 1 3

=

2n+2n+1

(2n+ 1 3 )(2n+1- 1 3 )

＜

2n+2n+1

2n•2n+1

=

1

2n

+

1

2n+1

（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-2

+

1

2n-1

-2+

1

2n+ 1 3

＜

1 2

1- 1 2

-2+

1

2n+ 1 3

=

1

2n+ 1 3

-1＜1
 ②當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

+

1

2n

＜

1 2

1- 1 2

=1
綜上所述，（-1）b₁+（-1）²b₂+…+（-1）ⁿb_n＜1

點(diǎn)評(píng)：本題是數(shù)列與不等式的綜合．考查數(shù)列的遞推關(guān)系，通項(xiàng)公式、不等式的證明．考查變形、構(gòu)造、轉(zhuǎn)化、計(jì)算的能力．